Recta tangente y área entre una curva y una recta horizontal

**(a) [0'5 puntos] Halla la ecuación de la recta tangente a la curva en el punto de abscisa $x = -1$.** Para hallar la ecuación de la recta tangente en $x = a$, utilizamos la fórmula: $$y - f(a) = f'(a)(x - a)$$ 1. Calculamos la ordenada del punto sustituyendo $x = -1$ en la función $f(x) = x^3 - 3x$: $$f(-1) = (-1)^3 - 3(-1) = -1 + 3 = 2$$ El punto de tangencia es **$P(-1, 2)$**. 2. Hallamos la pendiente de la recta tangente calculando la derivada $f'(x)$ y evaluándola en $x = -1$: $$f'(x) = 3x^2 - 3$$ $$m = f'(-1) = 3(-1)^2 - 3 = 3 - 3 = 0$$ 3. Sustituimos en la ecuación de la recta: $$y - 2 = 0(x - (-1)) \implies y - 2 = 0$$ 💡 **Tip:** Recuerda que si la pendiente $f'(a) = 0$, la recta tangente es horizontal. ✅ **Resultado:** $$\boxed{y = 2}$$

**(b) [2 puntos] Calcula el área del recinto limitado por la curva dada y la recta $y = 2$.** Para calcular el área, primero debemos encontrar los puntos de corte entre la curva $f(x) = x^3 - 3x$ y la recta $g(x) = 2$. Igualamos ambas expresiones: $$x^3 - 3x = 2 \implies x^3 - 3x - 2 = 0$$ Sabemos por el apartado anterior que $x = -1$ es una raíz (ya que la recta $y=2$ es tangente en ese punto). Aplicamos la regla de Ruffini para factorizar el polinomio: $$\begin{array}{r|rrrr} & 1 & 0 & -3 & -2 \\ -1 & & -1 & 1 & 2 \\ \hline & 1 & -1 & -2 & 0 \\ -1 & & -1 & 2 & \\ \hline & 1 & -2 & 0 & \end{array}$$ Las raíces son $x = -1$ (doble, por la tangencia) y $x = 2$. Por lo tanto, los límites de integración son **$x = -1$** y **$x = 2$**. 💡 **Tip:** En los puntos de tangencia, la raíz del sistema de ecuaciones siempre es, al menos, doble.

Para saber qué función queda por encima en el intervalo $(-1, 2)$, tomamos un valor intermedio, por ejemplo $x = 0$: - Curva: $f(0) = 0^3 - 3(0) = 0$ - Recta: $g(0) = 2$ Como $2 \gt 0$, la recta $y = 2$ está por encima de la curva en este intervalo. El área viene dada por la integral definida: $$A = \int_{-1}^{2} (2 - (x^3 - 3x)) \, dx = \int_{-1}^{2} (-x^3 + 3x + 2) \, dx$$

Calculamos la primitiva y aplicamos la Regla de Barrow: $$A = \left[ -\frac{x^4}{4} + \frac{3x^2}{2} + 2x \right]_{-1}^{2}$$ Evaluamos en el límite superior ($x=2$): $$\left( -\frac{2^4}{4} + \frac{3 \cdot 2^2}{2} + 2 \cdot 2 \right) = \left( -\frac{16}{4} + \frac{12}{2} + 4 \right) = (-4 + 6 + 4) = 6$$ Evaluamos en el límite inferior ($x=-1$): $$\left( -\frac{(-1)^4}{4} + \frac{3 \cdot (-1)^2}{2} + 2 \cdot (-1) \right) = \left( -\frac{1}{4} + \frac{3}{2} - 2 \right) = \left( -0.25 + 1.5 - 2 \right) = -0.75 = -\frac{3}{4}$$ Restamos los resultados: $$A = 6 - \left( -\frac{3}{4} \right) = 6 + \frac{3}{4} = \frac{24+3}{4} = \frac{27}{4}$$ 💡 **Tip:** El área siempre debe ser un valor positivo. Si obtienes un número negativo, revisa el orden de las funciones en la resta. ✅ **Resultado:** $$\boxed{A = \frac{27}{4} \text{ u}^2 = 6.75 \text{ u}^2}$$