Estudio completo de una función a trozos

**(a) [0'75 puntos] Estudia su continuidad y derivabilidad.** Analizamos la continuidad en los distintos intervalos de la función: 1. **En el intervalo $(-\infty, 0)$**: La función $f(x) = \frac{1}{x-1}$ es una función racional cuyo denominador se anula en $x=1$. Como $1 \notin (-\infty, 0)$, la función es **continua** en este intervalo. 2. **En el intervalo $(0, +\infty)$**: La función $f(x) = x^2 - 3x - 1$ es polinómica, por lo que es **continua** en todo su dominio. 3. **En el punto de salto $x = 0$**: Comprobamos si los límites laterales coinciden con el valor de la función: - Valor de la función: $f(0) = 0^2 - 3(0) - 1 = -1$. - Límite por la izquierda: $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x-1} = \frac{1}{0-1} = -1$. - Límite por la derecha: $\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} (x^2 - 3x - 1) = -1$. Como $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0) = -1$, la función es **continua en $x=0$**. 💡 **Tip:** Para que una función sea continua en un punto $a$, deben existir los límites laterales, ser iguales entre sí e iguales al valor de la función $f(a)$.

Para estudiar la derivabilidad, primero calculamos la derivada de la función en las ramas abiertas: $$f'(x) = \begin{cases} \frac{-1}{(x-1)^2} & \text{si } x < 0 \\ 2x - 3 & \text{si } x > 0 \end{cases}$$ Para que sea derivable en $x=0$, las derivadas laterales deben coincidir: - Derivada por la izquierda: $f'(0^-) = \lim_{x \to 0^-} \frac{-1}{(x-1)^2} = \frac{-1}{(-1)^2} = -1$. - Derivada por la derecha: $f'(0^+) = \lim_{x \to 0^+} (2x - 3) = -3$. Como $f'(0^-) \neq f'(0^+)$, la función **no es derivable en $x=0$** (presenta un punto anguloso). ✅ **Resultado (Continuidad y derivabilidad):** $$\boxed{\text{Continua en } \mathbb{R}. \text{ Derivable en } \mathbb{R} \setminus \{0\}.}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la derivabilidad implica continuidad, pero la continuidad no asegura la derivabilidad (como ocurre aquí en $x=0$).

**(b) [1'25 puntos] Determina sus asíntotas y sus extremos relativos.** **Asíntotas Verticales (A.V.):** No hay, ya que el único punto problemático de la primera rama ($x=1$) no está en su dominio de definición ($x < 0$), y la segunda rama es polinómica. **Asíntotas Horizontales (A.H.):** - Por la izquierda ($x \to -\infty$): $$\lim_{x \to -\infty} \frac{1}{x-1} = 0 \implies \boxed{y = 0 \text{ es A.H. cuando } x \to -\infty}$$ - Por la derecha ($x \to +\infty$): $$\lim_{x \to +\infty} (x^2 - 3x - 1) = +\infty \implies \text{No hay A.H. por la derecha.}$$ **Asíntotas Oblicuas (A.O.):** - Por la derecha: $m = \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2 - 3x - 1}{x} = \lim_{x \to +\infty} (x - 3 - \frac{1}{x}) = +\infty$. Al ser infinito, **no hay A.O.**

Buscamos los puntos donde $f'(x) = 0$ en cada rama: - Rama $x < 0$: $f'(x) = \frac{-1}{(x-1)^2}$. Esta expresión nunca es cero. La función siempre es decreciente en esta rama ($f'(x) < 0$). - Rama $x > 0$: $f'(x) = 2x - 3 = 0 \implies x = \frac{3}{2}$. Analizamos el signo de $f'(x)$ en la recta real considerando el punto de no derivabilidad ($x=0$) y el posible extremo ($x=1.5$): $$\begin{array}{c|ccc} x & (-\infty, 0) & 0 & (0, 1.5) & 1.5 & (1.5, +\infty) \\ \hline f'(x) & - & \nexists & - & 0 & + \\ f(x) & \searrow & \text{cont.} & \searrow & \text{Mín} & \nearrow \end{array}$$ - En $x = 0$ no hay extremo relativo porque la función decrece a ambos lados. - En $x = 1.5$, la función pasa de decrecer a crecer, luego hay un **mínimo relativo**. Calculamos la ordenada del mínimo: $f(1.5) = (1.5)^2 - 3(1.5) - 1 = 2.25 - 4.5 - 1 = -3.25$. ✅ **Resultado (Asíntotas y Extremos):** $$\boxed{\text{A.H: } y=0 \text{ (izq)}; \text{ Mínimo relativo en } (1.5, -3.25)}$$

**(c) [0'5 puntos] Esboza la gráfica de $f$.** Utilizamos los datos obtenidos: 1. Rama izquierda: Hipérbola con A.H. $y=0$, pasa por $(0, -1)$ aunque no lo incluye. 2. Rama derecha: Parábola con vértice (mínimo) en $(1.5, -3.25)$. Pasa por $(0, -1)$. 3. Corte con el eje $X$ ($x \geq 0$): $x^2 - 3x - 1 = 0 \implies x = \frac{3 \pm \sqrt{13}}{2} \approx 3.3$ (el valor negativo se descarta). Visualizamos la función: