Recta perpendicular común a dos rectas

Para hallar la perpendicular común, primero necesitamos conocer un punto y el vector director de cada una de las rectas dadas. La recta $r$ viene dada en su forma paramétrica: $$r: \begin{cases} x = 1 \\ y = 1 \\ z = -2 + \lambda \end{cases}$$ De aquí extraemos: - Un punto de $r$: $P_r(1, 1, -2)$. - Su vector director: $\vec{v_r} = (0, 0, 1)$. La recta $s$ también viene dada en paramétricas: $$s: \begin{cases} x = \mu \\ y = -1 + \mu \\ z = -1 \end{cases}$$ De aquí extraemos: - Un punto de $s$: $P_s(0, -1, -1)$. - Su vector director: $\vec{v_s} = (1, 1, 0)$. 💡 **Tip:** Recuerda que en las ecuaciones paramétricas de la recta, los coeficientes de los parámetros ($\lambda, \mu$) corresponden a las componentes del vector director.

La recta perpendicular común, a la que llamaremos $t$, debe tener una dirección que sea perpendicular simultáneamente a $\vec{v_r}$ y a $\vec{v_s}$. Esta dirección se obtiene mediante el producto vectorial de ambos vectores: $$\vec{v_t} = \vec{v_r} \times \vec{v_s} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{vmatrix}$$ Calculamos el determinante por el método de Sarrus: $$\vec{v_t} = [0\cdot 0 - 1\cdot 1]\mathbf{i} - [0\cdot 0 - 1\cdot 1]\mathbf{j} + [0\cdot 1 - 0\cdot 1]\mathbf{k} = -1\mathbf{i} + 1\mathbf{j} + 0\mathbf{k}$$ Por tanto, el vector director de la perpendicular común es: $$\vec{v_t} = (-1, 1, 0)$$ 💡 **Tip:** El producto vectorial $\vec{u} \times \vec{v}$ siempre genera un vector perpendicular a $\vec{u}$ y a $\vec{v}$ a la vez.

Existen varios métodos para hallar la recta $t$. El más directo consiste en definirla como la intersección de dos planos, $\pi_1$ y $\pi_2$: - El plano $\pi_1$ contiene a la recta $r$ y tiene la dirección $\vec{v_t}$. - El plano $\pi_2$ contiene a la recta $s$ y tiene la dirección $\vec{v_t}$. Visualmente, la recta buscada es la intersección de estos dos planos auxiliares:

El plano $\pi_1$ pasa por $P_r(1, 1, -2)$ y tiene como vectores directores $\vec{v_r}(0, 0, 1)$ y $\vec{v_t}(-1, 1, 0)$. Su ecuación se obtiene resolviendo el determinante: $$\begin{vmatrix} x - 1 & y - 1 & z + 2 \\ 0 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & 0 \end{vmatrix} = 0$$ Desarrollamos por la segunda fila (que tiene más ceros): $$-1 \cdot \begin{vmatrix} x - 1 & y - 1 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} = 0$$ $$-1 \cdot [(x - 1) \cdot 1 - (y - 1) \cdot (-1)] = 0$$ $$-1 \cdot [x - 1 + y - 1] = 0 \implies -1 \cdot (x + y - 2) = 0$$ Ecuación de $\pi_1$: $$\pi_1: x + y - 2 = 0$$

El plano $\pi_2$ pasa por $P_s(0, -1, -1)$ y tiene como vectores directores $\vec{v_s}(1, 1, 0)$ y $\vec{v_t}(-1, 1, 0)$. Su ecuación es: $$\begin{vmatrix} x - 0 & y + 1 & z + 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \end{vmatrix} = 0$$ Desarrollamos por la tercera columna: $$(z + 1) \cdot \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} = 0$$ $$(z + 1) \cdot [1\cdot 1 - (-1)\cdot 1] = 0$$ $$(z + 1) \cdot [1 + 1] = 0 \implies 2(z + 1) = 0$$ Simplificando, la ecuación de $\pi_2$ es: $$\pi_2: z + 1 = 0$$

La recta $t$ queda definida por la intersección de ambos planos. Podemos expresarla en su forma implícita: ✅ **Resultado final:** $$\boxed{t: \begin{cases} x + y - 2 = 0 \\ z + 1 = 0 \end{cases}}$$ Si quisiéramos darla en **forma paramétrica**, tomaríamos $z = -1$, y de la primera ecuación $y = 2 - x$. Si hacemos $x = \alpha$, entonces: $$t: \begin{cases} x = \alpha \\ y = 2 - \alpha \\ z = -1 \end{cases}$$ 💡 **Tip:** Para verificar el resultado, comprueba que el vector director de esta recta $(1, -1, 0)$ es proporcional al producto vectorial hallado anteriormente $(-1, 1, 0)$.