Propiedades de los determinantes

**(a) [0'5 puntos] El determinante de $B^{-1}$.** Para calcular el determinante de la matriz inversa, utilizamos la propiedad que establece que el determinante de la inversa de una matriz es el recíproco del determinante de la matriz original, siempre que este sea distinto de cero. Propiedad: $|A^{-1}| = \dfrac{1}{|A|}$ Como sabemos que $|B| = -2$, simplemente sustituimos: $$|B^{-1}| = \frac{1}{|B|} = \frac{1}{-2} = -\frac{1}{2}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para que exista $B^{-1}$, el determinante de $B$ debe ser distinto de cero, condición que se cumple aquí pues $|B| = -2$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{|B^{-1}| = -\frac{1}{2}}$$

**(b) [0'5 puntos] El determinante de $(B^t)^4$ ($B^t$ es la matriz traspuesta de $B$).** Utilizamos dos propiedades fundamentales de los determinantes: 1. El determinante de una matriz traspuesta es igual al determinante de la matriz original: $|A^t| = |A|$. 2. El determinante de una potencia de una matriz es igual a la potencia del determinante: $|A^n| = |A|^n$. Aplicando estas propiedades a nuestra expresión: $$|(B^t)^4| = |B^t|^4 = |B|^4$$ Sustituimos el valor $|B| = -2$: $$|(B^t)^4| = (-2)^4 = 16$$ 💡 **Tip:** No importa el orden en que apliques las propiedades (primero la traspuesta y luego la potencia o viceversa), el resultado será el mismo. ✅ **Resultado:** $$\boxed{|(B^t)^4| = 16}$$

**(c) [0'5 puntos] El determinante de $2B$.** La propiedad para el producto de una matriz por un número escalar $k$ dice que si la matriz es de orden $n$, el escalar sale del determinante elevado a dicha potencia $n$. Propiedad: $|k \cdot A| = k^n \cdot |A|$ En este caso, la matriz $B$ es de orden $n = 3$ y el escalar es $k = 2$: $$|2B| = 2^3 \cdot |B| = 8 \cdot |B|$$ Sustituimos $|B| = -2$: $$|2B| = 8 \cdot (-2) = -16$$ 💡 **Tip:** Es un error común olvidar elevar el escalar al orden de la matriz. Como $B$ tiene 3 filas, cada fila queda multiplicada por 2, de ahí el $2^3$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{|2B| = -16}$$

**(d) [1 punto] El determinante de una matriz cuadrada cuyas filas primera, segunda y tercera son, respectivamente, $5F_1 - F_3, 3F_3, F_2$.** Sea $M$ la nueva matriz. Queremos calcular $|M| = \text{det}(5F_1 - F_3, 3F_3, F_2)$. Vamos aplicando propiedades paso a paso: 1. **Multiplicación de una fila por un escalar:** Si multiplicamos una fila por un número, el determinante queda multiplicado por ese número. Sacamos el factor $3$ de la segunda fila: $$|M| = 3 \cdot \text{det}(5F_1 - F_3, F_3, F_2)$$ 2. **Suma de un múltiplo de una fila a otra:** El determinante no varía si a una fila le sumamos un múltiplo de otra. Sumamos la segunda fila ($F_3$) a la primera ($5F_1 - F_3$): $$|M| = 3 \cdot \text{det}(5F_1, F_3, F_2)$$ 3. **Factor común en una fila:** Sacamos el factor $5$ de la primera fila: $$|M| = 3 \cdot 5 \cdot \text{det}(F_1, F_3, F_2) = 15 \cdot \text{det}(F_1, F_3, F_2)$$ 4. **Intercambio de dos filas:** Si intercambiamos dos filas entre sí, el determinante cambia de signo. Intercambiamos la segunda y la tercera fila para recuperar el orden de la matriz $B$: $$|M| = 15 \cdot (-1) \cdot \text{det}(F_1, F_2, F_3) = -15 \cdot |B|$$ Finalmente, sustituimos $|B| = -2$: $$|M| = -15 \cdot (-2) = 30$$ 💡 **Tip:** Al aplicar transformaciones, intenta siempre llegar paso a paso a la configuración de la matriz original. Recuerda que sumar filas no cambia el valor, pero intercambiarlas sí cambia el signo. ✅ **Resultado:** $$\boxed{30}$$