Función con valor absoluto: gráfica, tangente y área

Para trabajar con la función $f(x) = x|x - 1|$, primero debemos eliminar el valor absoluto atendiendo a su definición: $$|x - 1| = \begin{cases} -(x - 1) & \text{si } x < 1 \\ x - 1 & \text{si } x \ge 1 \end{cases}$$ Multiplicando por el factor $x$ exterior, obtenemos la función definida a trozos: $$f(x) = \begin{cases} x(1 - x) & \text{si } x < 1 \\ x(x - 1) & \text{si } x \ge 1 \end{cases} \implies f(x) = \begin{cases} -x^2 + x & \text{si } x < 1 \\ x^2 - x & \text{si } x \ge 1 \end{cases}$$ Esta función está compuesta por dos arcos de parábola que se unen en el punto $x = 1$. 💡 **Tip:** Siempre que aparezca un valor absoluto, el primer paso debe ser definir la función a trozos identificando dónde cambia de signo el argumento del valor absoluto.

**(a) [0'5 puntos] Esboza la gráfica de $f$.** Analizamos cada rama: 1. **Para $x < 1$**: $f(x) = -x^2 + x$. Es una parábola cóncava (hacia abajo). Sus raíces son $x=0$ y $x=1$. El vértice está en $x = -b/2a = -1/(-2) = 0.5$, con $f(0.5) = 0.25$. 2. **Para $x \ge 1$**: $f(x) = x^2 - x$. Es una parábola convexa (hacia arriba). Su raíz en este intervalo es $x=1$. Para valores grandes de $x$, crece indefinidamente. Ambas ramas pasan por el punto $(1, 0)$, lo que asegura la continuidad de la función. $$\boxed{\text{Gráfica compuesta por dos parábolas unidas en } (1,0)}$$

A continuación se muestra la representación gráfica de $f(x)$ y la recta tangente $y=x$, resaltando el área del recinto que calcularemos en el apartado (c).

**(b) [0'75 puntos] Comprueba que la recta de ecuación $y = x$ es la recta tangente a la gráfica de $f$ en el punto de abscisa $x = 0$.** La ecuación de la recta tangente en $x = a$ es $y - f(a) = f'(a)(x - a)$. 1. **Punto de tangencia**: Calculamos $f(0)$. Como $0 < 1$, usamos la primera rama: $$f(0) = -0^2 + 0 = 0 \implies \text{Punto } (0, 0)$$ 2. **Pendiente de la tangente**: Calculamos la derivada en el entorno de $x=0$. Para $x < 1$: $$f'(x) = \frac{d}{dx}(-x^2 + x) = -2x + 1$$ Evaluamos en $x = 0$: $$m = f'(0) = -2(0) + 1 = 1$$ 3. **Ecuación de la recta**: Sustituimos en la fórmula: $$y - 0 = 1(x - 0) \implies y = x$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para calcular la recta tangente en un punto de una función a trozos, debes usar la expresión de la rama que contiene a dicho punto. $$\boxed{y = x \text{ es la recta tangente en } x=0}$$

**(c) [1'25 puntos] Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de $f$ y la de dicha tangente.** Primero buscamos los puntos de intersección de $f(x)$ y $y = x$ resolviendo $f(x) = x$ por ramas: - **Rama $x < 1$**: $-x^2 + x = x \implies -x^2 = 0 \implies x = 0$. - **Rama $x \ge 1$**: $x^2 - x = x \implies x^2 - 2x = 0 \implies x(x - 2) = 0$. Las soluciones son $x = 0$ (no válida aquí) y $x = 2$. Los puntos de corte son $x = 0$ y $x = 2$. El recinto está comprendido entre estos dos valores, pero la función $f(x)$ cambia su definición en $x = 1$, por lo que dividiremos la integral en dos partes. $$\text{Puntos de corte: } x=0, x=2$$

El área se define como $A = \int_0^2 |x - f(x)| dx$. Observando la gráfica o evaluando puntos intermedios, vemos que en todo el intervalo $[0, 2]$, la recta $y = x$ está por encima de la curva $f(x)$. Dividimos la integral en el punto de salto de rama $x = 1$: $$A = \int_0^1 (x - (-x^2 + x)) \, dx + \int_1^2 (x - (x^2 - x)) \, dx$$ Simplificamos los integrandos: $$A = \int_0^1 x^2 \, dx + \int_1^2 (2x - x^2) \, dx$$ 💡 **Tip:** Cuando el recinto abarca varias ramas de una función, la integral debe descomponerse en la suma de las integrales en cada intervalo de definición.

Aplicamos la Regla de Barrow para cada integral: 1. **Primera parte**: $$\int_0^1 x^2 \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^1 = \frac{1^3}{3} - 0 = \frac{1}{3}$$ 2. **Segunda parte**: $$\int_1^2 (2x - x^2) \, dx = \left[ x^2 - \frac{x^3}{3} \right]_1^2 = \left( 2^2 - \frac{2^3}{3} \right) - \left( 1^2 - \frac{1^3}{3} \right)$$ $$= \left( 4 - \frac{8}{3} \right) - \left( 1 - \frac{1}{3} \right) = \frac{4}{3} - \frac{2}{3} = \frac{2}{3}$$ Sumamos ambas áreas: $$A = \frac{1}{3} + \frac{2}{3} = 1$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Área} = 1 \text{ u}^2}$$