Cálculo de límite con indeterminación infinito menos infinito

**Ejercicio 1.- [2'5 puntos] Calcula el siguiente límite ($\ln$ denota logaritmo neperiano), $\lim_{x o 1} \left( \frac{1}{\ln(x)} - \frac{2}{x^2 - 1} \right)$** En primer lugar, evaluamos el límite sustituyendo $x = 1$ en la expresión para comprobar si existe un valor directo: $$\lim_{x o 1} \left( \frac{1}{\ln(x)} - \frac{2}{x^2 - 1} \right) = \frac{1}{\ln(1)} - \frac{2}{1^2 - 1} = \frac{1}{0} - \frac{2}{0} = \infty - \infty$$ Obtenemos una **indeterminación de tipo $\infty - \infty$**. Para resolverla mediante la regla de L'Hôpital, primero debemos transformar la expresión en un único cociente. 💡 **Tip:** Cuando tenemos una resta de fracciones que produce $\infty - \infty$, el procedimiento estándar es realizar la operación aritmética (común denominador) para obtener una indeterminación de tipo $\frac{0}{0}$ o $\frac{\infty}{\infty}$.

Buscamos el común denominador de las fracciones, que es $(x^2 - 1)\ln(x)$: $$\lim_{x o 1} \left( \frac{1}{\ln(x)} - \frac{2}{x^2 - 1} \right) = \lim_{x o 1} \frac{x^2 - 1 - 2\ln(x)}{(x^2 - 1)\ln(x)}$$ Si volvemos a evaluar el límite en $x = 1$: $$\frac{1^2 - 1 - 2\ln(1)}{(1^2 - 1)\ln(1)} = \frac{1 - 1 - 0}{0 \cdot 0} = \frac{0}{0}$$ Ahora que tenemos una **indeterminación de tipo $\frac{0}{0}$**, podemos aplicar la **regla de L'Hôpital**.

Derivamos de forma independiente el numerador y el denominador: - Numerador: $f(x) = x^2 - 1 - 2\ln(x) \implies f'(x) = 2x - \frac{2}{x}$ - Denominador: $g(x) = (x^2 - 1)\ln(x) \implies g'(x) = 2x\ln(x) + (x^2 - 1)\frac{1}{x} = 2x\ln(x) + x - \frac{1}{x}$ Sustituimos en el límite: $$\lim_{x o 1} \frac{x^2 - 1 - 2\ln(x)}{(x^2 - 1)\ln(x)} = \lim_{x o 1} \frac{2x - \frac{2}{x}}{2x\ln(x) + x - \frac{1}{x}}$$ Evaluamos de nuevo en $x = 1$: $$\frac{2(1) - \frac{2}{1}}{2(1)\ln(1) + 1 - \frac{1}{1}} = \frac{2 - 2}{0 + 1 - 1} = \frac{0}{0}$$ Como la indeterminación persiste, simplificaremos la expresión antes de aplicar L'Hôpital por segunda vez. 💡 **Tip:** Antes de volver a derivar, multiplica numerador y denominador por $x$ para eliminar las fracciones internas y facilitar el cálculo.

Simplificamos el límite multiplicando por $x$ arriba y abajo: $$\lim_{x o 1} \frac{x(2x - \frac{2}{x})}{x(2x\ln(x) + x - \frac{1}{x})} = \lim_{x o 1} \frac{2x^2 - 2}{2x^2\ln(x) + x^2 - 1}$$ Aplicamos L'Hôpital de nuevo: - Derivada del numerador: $(2x^2 - 2)' = 4x$ - Derivada del denominador: $(2x^2\ln(x) + x^2 - 1)' = (4x\ln(x) + 2x^2 \cdot \frac{1}{x}) + 2x = 4x\ln(x) + 2x + 2x = 4x\ln(x) + 4x$ El límite queda: $$\lim_{x o 1} \frac{2x^2 - 2}{2x^2\ln(x) + x^2 - 1} = \lim_{x o 1} \frac{4x}{4x\ln(x) + 4x}$$

Finalmente, sustituimos $x = 1$ en la expresión resultante: $$\lim_{x o 1} \frac{4x}{4x\ln(x) + 4x} = \frac{4(1)}{4(1)\ln(1) + 4(1)} = \frac{4}{4 \cdot 0 + 4} = \frac{4}{4} = 1$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{1}$$ Podemos visualizar gráficamente cómo la función se aproxima a 1 cuando $x$ tiende a 1: