Posiciones relativas y planos en el espacio

Para trabajar con la recta $r$, necesitamos obtener un punto $P_r$ y su vector director $\vec{v}_r$. La recta viene dada como intersección de dos planos: **1. Vector director $\vec{v}_r$:** Calculamos el producto vectorial de los vectores normales de los planos que definen $r$, $\vec{n}_{r1} = (1, -1, 0)$ y $\vec{n}_{r2} = (1, 1, -1)$: $$\vec{v}_r = \vec{n}_{r1} \times \vec{n}_{r2} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & -1 & 0 \\ 1 & 1 & -1 \end{vmatrix}$$ Desarrollamos por Sarrus: $$\vec{v}_r = \mathbf{i}((-1) \cdot (-1) - 0 \cdot 1) - \mathbf{j}(1 \cdot (-1) - 0 \cdot 1) + \mathbf{k}(1 \cdot 1 - (-1) \cdot 1)$$ $$\vec{v}_r = \mathbf{i}(1) - \mathbf{j}(-1) + \mathbf{k}(2) = (1, 1, 2)$$ **2. Punto $P_r$ de la recta $r$:** Damos un valor arbitrario a una de las coordenadas, por ejemplo $x = 0$: $$\begin{cases} 0 - y + 3 = 0 \implies y = 3 \\ 0 + 3 - z - 1 = 0 \implies z = 2 \end{cases}$$ Así, el punto es $P_r(0, 3, 2)$. 💡 **Tip:** El vector director de una recta definida por dos planos siempre es perpendicular a ambos vectores normales, por eso usamos el producto vectorial.

Hacemos lo mismo con la recta $s$ para obtener su vector director $\vec{v}_s$. Los planos que la definen tienen vectores normales $\vec{n}_{s1} = (0, 2, 0)$ y $\vec{n}_{s2} = (1, 0, -2)$: $$\vec{v}_s = \vec{n}_{s1} \times \vec{n}_{s2} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & -2 \end{vmatrix}$$ $$\vec{v}_s = \mathbf{i}(2 \cdot (-2) - 0 \cdot 0) - \mathbf{j}(0 \cdot (-2) - 0 \cdot 1) + \mathbf{k}(0 \cdot 0 - 2 \cdot 1)$$ $$\vec{v}_s = \mathbf{i}(-4) - \mathbf{j}(0) + \mathbf{k}(-2) = (-4, 0, -2)$$ Podemos simplificar el vector director dividiendo por $-2$ para trabajar con números más sencillos: $$\vec{v}_s = (2, 0, 1)$$ 💡 **Tip:** Cualquier vector proporcional al vector director sigue siendo un vector director válido para la recta.

**(a) [1'5 puntos] Determina la ecuación del plano que contiene a $r$ y es paralelo a $s$.** Si el plano $\pi$ contiene a la recta $r$: - Debe pasar por el punto $P_r(0, 3, 2)$. - Uno de sus vectores directores debe ser $\vec{v}_r = (1, 1, 2)$. Si el plano $\pi$ es paralelo a la recta $s$: - Su otro vector director puede ser $\vec{v}_s = (2, 0, 1)$. La ecuación del plano viene dada por el determinante: $$\begin{vmatrix} x - 0 & y - 3 & z - 2 \\ 1 & 1 & 2 \\ 2 & 0 & 1 \end{vmatrix} = 0$$ Desarrollamos el determinante: $$(x) \cdot (1 \cdot 1 - 2 \cdot 0) - (y - 3) \cdot (1 \cdot 1 - 2 \cdot 2) + (z - 2) \cdot (1 \cdot 0 - 1 \cdot 2) = 0$$ $$x(1) - (y - 3)(-3) + (z - 2)(-2) = 0$$ $$x + 3(y - 3) - 2(z - 2) = 0$$ $$x + 3y - 9 - 2z + 4 = 0$$ $$x + 3y - 2z - 5 = 0$$ ✅ **Resultado (ecuación del plano):** $$\boxed{x + 3y - 2z - 5 = 0}$$

**(b) [1 punto] ¿Existe algún plano que contenga a $r$ y sea perpendicular a $s$? Razona la respuesta.** Analicemos las condiciones geométricas necesarias: 1. Si un plano $\pi'$ contiene a la recta $r$, el vector director de la recta $\vec{v}_r$ debe ser perpendicular al vector normal del plano $\vec{n}_{\pi'}$. Es decir: $\vec{v}_r \cdot \vec{n}_{\pi'} = 0$. 2. Si el plano $\pi'$ es perpendicular a la recta $s$, el vector normal del plano $\vec{n}_{\pi'}$ debe ser paralelo (o igual) al vector director de la recta $\vec{v}_s$. Es decir: $\vec{n}_{\pi'} = \vec{v}_s$. Uniendo ambas condiciones, para que dicho plano exista, se debe cumplir obligatoriamente que: $$\vec{v}_r \perp \vec{v}_s \implies \vec{v}_r \cdot \vec{v}_s = 0$$ Comprobamos el producto escalar con los vectores obtenidos anteriormente: $$\vec{v}_r = (1, 1, 2) \quad \text{y} \quad \vec{v}_s = (2, 0, 1)$$ $$\vec{v}_r \cdot \vec{v}_s = (1 \cdot 2) + (1 \cdot 0) + (2 \cdot 1) = 2 + 0 + 2 = 4$$ Como $4 \neq 0$, los vectores directores de las rectas no son perpendiculares. Por lo tanto: ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{No existe tal plano, ya que } \vec{v}_r \text{ no es perpendicular a } \vec{v}_s.}$$