Ecuación matricial con inversa y traspuesta

Para resolver la ecuación matricial $AX - B^t = 2C$, primero debemos aislar el término que contiene a la incógnita $X$. Sumamos $B^t$ en ambos lados de la igualdad: $$AX = 2C + B^t$$ Si la matriz $A$ tiene inversa ($|A| \neq 0$), podemos multiplicar por $A^{-1}$ por la **izquierda** en ambos miembros: $$A^{-1}(AX) = A^{-1}(2C + B^t)$$ $$(A^{-1}A)X = A^{-1}(2C + B^t)$$ $$I \cdot X = A^{-1}(2C + B^t)$$ $$\mathbf{X = A^{-1}(2C + B^t)}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que en el álgebra de matrices el orden de la multiplicación es fundamental. Como $A$ está a la izquierda de $X$, su inversa debe multiplicar por la izquierda al otro lado de la ecuación.

Primero obtenemos $B^t$ intercambiando filas por columnas de $B$: $$B = \begin{pmatrix} 3 & 1 & 0 \\ -1 & 2 & 1 \end{pmatrix} \implies B^t = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$ Ahora calculamos la matriz resultante del lado derecho de la ecuación, a la que llamaremos $D$: $$D = 2C + B^t = 2 \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 1 & -2 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$ $$D = \begin{pmatrix} -4 & 2 \\ 2 & -4 \\ 0 & 6 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 3 & -2 \\ 0 & 7 \end{pmatrix}$$ $$\boxed{D = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 3 & -2 \\ 0 & 7 \end{pmatrix}}$$

Para comprobar si $A$ es invertible, calculamos su determinante mediante la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & -2 & 1 \\ -2 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & -1 \end{vmatrix}$$ $$|A| = [1 \cdot (-1) \cdot (-1) + (-2) \cdot 1 \cdot 1 + 1 \cdot (-2) \cdot 0] - [1 \cdot (-1) \cdot 1 + 0 \cdot 1 \cdot 1 + (-1) \cdot (-2) \cdot (-2)]$$ $$|A| = [1 - 2 + 0] - [-1 + 0 - 4]$$ $$|A| = -1 - (-5) = -1 + 5 = 4$$ Como $|A| = 4 \neq 0$, existe la matriz inversa $A^{-1}$. 💡 **Tip:** Si el determinante fuera $0$, la matriz no tendría inversa y el sistema matricial no tendría una solución única o directamente no tendría solución.

Calculamos la matriz inversa usando la fórmula $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{Adj}(A)^t$. Calculamos los adjuntos de cada elemento de $A$: - $A_{11} = + \begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 0 & -1 \end{vmatrix} = 1$ - $A_{12} = - \begin{vmatrix} -2 & 1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = -(2-1) = -1$ - $A_{13} = + \begin{vmatrix} -2 & -1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = 0 - (-1) = 1$ - $A_{21} = - \begin{vmatrix} -2 & 1 \\ 0 & -1 \end{vmatrix} = -(2-0) = -2$ - $A_{22} = + \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = -1-1 = -2$ - $A_{23} = - \begin{vmatrix} 1 & -2 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = -(0 - (-2)) = -2$ - $A_{31} = + \begin{vmatrix} -2 & 1 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} = -2 - (-1) = -1$ - $A_{32} = - \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ -2 & 1 \end{vmatrix} = -(1 - (-2)) = -3$ - $A_{33} = + \begin{vmatrix} 1 & -2 \\ -2 & -1 \end{vmatrix} = -1 - 4 = -5$ La matriz adjunta es $\text{Adj}(A) = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ -2 & -2 & -2 \\ -1 & -3 & -5 \end{pmatrix}$. Transponemos para obtener la inversa: $$A^{-1} = \frac{1}{4} \begin{pmatrix} 1 & -2 & -1 \\ -1 & -2 & -3 \\ 1 & -2 & -5 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** No es necesario dividir cada término por 4 ahora; es más cómodo operar con el escalar al final.

Finalmente, calculamos $X = A^{-1}D$: $$X = \frac{1}{4} \begin{pmatrix} 1 & -2 & -1 \\ -1 & -2 & -3 \\ 1 & -2 & -5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 3 & -2 \\ 0 & 7 \end{pmatrix}$$ Realizamos el producto de las matrices: - Fila 1: $1(-1) + (-2)(3) + (-1)(0) = -7$ | $1(1) + (-2)(-2) + (-1)(7) = -2$ - Fila 2: $(-1)(-1) + (-2)(3) + (-3)(0) = -5$ | $(-1)(1) + (-2)(-2) + (-3)(7) = -18$ - Fila 3: $1(-1) + (-2)(3) + (-5)(0) = -7$ | $1(1) + (-2)(-2) + (-5)(7) = -30$ Multiplicamos por el escalar $\frac{1}{4}$: $$X = \begin{pmatrix} -7/4 & -2/4 \\ -5/4 & -18/4 \\ -7/4 & -30/4 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} -7/4 & -1/2 \\ -5/4 & -9/2 \\ -7/4 & -15/2 \end{pmatrix}}$$