Cálculo de una primitiva con cambio de variable

Para hallar la primitiva $F(x)$, debemos calcular la integral indefinida de la función $f(x)$: $$F(x) = \int \frac{x}{\sqrt{4 - 9x^4}} \, dx$$ Siguiendo la sugerencia del enunciado, aplicamos el cambio de variable $t = \frac{3}{2}x^2$. Para ello, calculamos el diferencial derivando ambos lados: $$dt = \frac{3}{2} \cdot 2x \, dx = 3x \, dx \implies x \, dx = \frac{1}{3} dt$$ Además, expresamos el término del denominador $9x^4$ en función de $t$: $$t = \frac{3}{2}x^2 \implies t^2 = \frac{9}{4}x^4 \implies 4t^2 = 9x^4$$ 💡 **Tip:** Un cambio de variable busca simplificar el integrando. En este caso, al tener $x^4$ dentro de la raíz y $x$ en el numerador, un cambio de tipo $t = kx^2$ es muy adecuado para obtener una integral de tipo arco seno.

Sustituimos los elementos obtenidos en la integral original: $$F(x) = \int \frac{1}{\sqrt{4 - 4t^2}} \cdot \frac{1}{3} \, dt$$ Extraemos factor común $4$ dentro de la raíz para simplificar la expresión: $$F(x) = \frac{1}{3} \int \frac{1}{\sqrt{4(1 - t^2)}} \, dt = \frac{1}{3} \int \frac{1}{2\sqrt{1 - t^2}} \, dt$$ Sacamos la constante fuera de la integral: $$F(x) = \frac{1}{6} \int \frac{1}{\sqrt{1 - t^2}} \, dt$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$. Aquí $\sqrt{4(1-t^2)} = 2\sqrt{1-t^2}$.

La integral resultante es inmediata, correspondiendo a la función arco seno: $$\frac{1}{6} \int \frac{1}{\sqrt{1 - t^2}} \, dt = \frac{1}{6} \arcsin(t) + C$$ Ahora, deshacemos el cambio de variable sustituyendo $t = \frac{3}{2}x^2$: $$F(x) = \frac{1}{6} \arcsin\left(\frac{3}{2}x^2\right) + C$$ 💡 **Tip:** No olvides nunca añadir la constante de integración $C$ al resolver una integral indefinida.

El enunciado nos indica que la primitiva debe cumplir la condición $F(0) = 3$. Sustituimos $x = 0$ en nuestra expresión de $F(x)$: $$F(0) = \frac{1}{6} \arcsin\left(\frac{3}{2} \cdot 0^2\right) + C = 3$$ Como $\arcsin(0) = 0$, tenemos: $$\frac{1}{6} \cdot 0 + C = 3 \implies C = 3$$ Finalmente, escribimos la expresión de la primitiva buscada: ✅ **Resultado final:** $$\boxed{F(x) = \frac{1}{6} \arcsin\left(\frac{3}{2}x^2\right) + 3}$$ 💡 **Tip:** La condición $F(a) = k$ sirve para seleccionar una única función de entre toda la familia de primitivas (que difieren en una constante).