Optimización: Rectángulo de diagonal mínima

Para resolver este problema de optimización, empezamos definiendo las variables que intervienen en el rectángulo: - Sea $x$ la longitud de la base en cm ($x \gt 0$). - Sea $y$ la longitud de la altura en cm ($y \gt 0$). El enunciado nos da una restricción (la superficie o área) y una función a optimizar (la diagonal). 1. **Condición de ligadura (Área):** $$A = x \cdot y = 16 \implies y = \frac{16}{x}$$ 2. **Función a minimizar (Diagonal):** Usando el teorema de Pitágoras, la diagonal $d$ de un rectángulo es: $$d = \sqrt{x^2 + y^2}$$ 💡 **Tip:** Minimizar la diagonal $d$ es equivalente a minimizar el cuadrado de la diagonal $d^2$ para evitar trabajar con raíces cuadradas en la derivada. Llamaremos a esta función $f(x)$. Sustituimos $y$ en la función de la diagonal: $$f(x) = x^2 + y^2 = x^2 + \left(\frac{16}{x}\right)^2 = x^2 + \frac{256}{x^2}$$ El dominio de nuestra función, dado que son longitudes, es $x \in (0, +\infty)$.

Para hallar el mínimo de la función $f(x) = x^2 + 256x^{-2}$, calculamos su primera derivada: $$f'(x) = 2x + 256 \cdot (-2)x^{-3} = 2x - \frac{512}{x^3}$$ Igualamos la derivada a cero para encontrar los puntos críticos: $$2x - \frac{512}{x^3} = 0 \implies 2x = \frac{512}{x^3} \implies 2x^4 = 512$$ $$x^4 = \frac{512}{2} = 256$$ $$x = \sqrt[4]{256} = 4 \text{ cm}$$ (Descartamos la solución negativa $x = -4$ por ser una longitud). 💡 **Tip:** Recuerda que para derivar $\frac{k}{x^n}$ es más cómodo escribirlo como $k \cdot x^{-n}$ y aplicar la regla de la potencia: $(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$.

Debemos comprobar que en $x = 4$ existe un mínimo relativo. Analizamos el signo de $f'(x)$ en los intervalos definidos por el punto crítico en el dominio $(0, +\infty)$: $$\begin{array}{c|ccc} x & (0, 4) & 4 & (4, +\infty) \\ \hline f'(x) & - & 0 & + \\ \hline f(x) & \searrow & \text{Mínimo} & \nearrow \end{array}$$ - Para $x=1 \in (0, 4)$: $f'(1) = 2(1) - 512/1^3 = -510 \lt 0$ (La función decrece). - Para $x=5 \in (4, +\infty)$: $f'(5) = 2(5) - 512/5^3 = 10 - 4.096 = 5.904 \gt 0$ (La función crece). Al pasar de decreciente a creciente en $x=4$, confirmamos que hay un **mínimo relativo**. Alternativamente, usando la segunda derivada: $$f''(x) = 2 - 512 \cdot (-3)x^{-4} = 2 + \frac{1536}{x^4}$$ Como $f''(4) = 2 + \frac{1536}{256} = 2 + 6 = 8 \gt 0$, confirmamos que es un mínimo.

Una vez hallado el valor de la base $x$, calculamos la altura $y$ usando la relación del área establecida en el primer paso: $$y = \frac{16}{x} = \frac{16}{4} = 4 \text{ cm}$$ Por tanto, el rectángulo de diagonal mínima entre todos los que tienen área $16 \text{ cm}^2$ es aquel cuyas dimensiones son iguales, es decir, un **cuadrado**. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Base } x = 4 \text{ cm y Altura } y = 4 \text{ cm}}$$