Posición relativa de dos rectas y ecuación del plano paralelo

**(a) [1'25 puntos] Estudia la posición relativa de $r$ y $s$.** Primero, identificamos un punto y un vector director para cada recta. Para la recta $r$, escrita en su forma continua $\frac{x-x_0}{v_x} = \frac{y-y_0}{v_y} = \frac{z-z_0}{v_z}$: - Punto $A_r = (3, 0, -1)$ - Vector director $\vec{v}_r = (1, 2, -2)$ Para la recta $s$, dada en su forma vectorial $(x, y, z) = (x_1, y_1, z_1) + \lambda(u_x, u_y, u_z)$: - Punto $A_s = (1, 1, 0)$ - Vector director $\vec{v}_s = (-1, 2, 0)$ 💡 **Tip:** En la ecuación continua de la recta, los denominadores son las componentes del vector director y los valores que restan a las variables en el numerador son las coordenadas del punto.

Comprobamos si los vectores directores son proporcionales (paralelos): $$\vec{v}_r = (1, 2, -2), \quad \vec{v}_s = (-1, 2, 0)$$ $$\frac{1}{-1} \neq \frac{2}{2} \implies -1 \neq 1$$ Como sus componentes no son proporcionales, los vectores directores tienen direcciones distintas. Por lo tanto, las rectas **no son paralelas ni coincidentes**. Esto significa que las rectas o bien se cortan en un punto, o bien se cruzan en el espacio.

Para distinguir si se cortan o se cruzan, calculamos el determinante formado por los vectores directores y el vector que une un punto de cada recta: $$\vec{A_r A_s} = A_s - A_r = (1-3, 1-0, 0-(-1)) = (-2, 1, 1)$$ Calculamos el determinante $|\vec{v}_r, \vec{v}_s, \vec{A_r A_s}|$ por la regla de Sarrus: $$\text{det} = \begin{vmatrix} 1 & 2 & -2 \\ -1 & 2 & 0 \\ -2 & 1 & 1 \end{vmatrix} = [1 \cdot 2 \cdot 1 + 2 \cdot 0 \cdot (-2) + (-1) \cdot 1 \cdot (-2)] - [(-2) \cdot 2 \cdot (-2) + 1 \cdot 0 \cdot 1 + (-1) \cdot 2 \cdot 1]$$ $$\text{det} = [2 + 0 + 2] - [8 + 0 - 2] = 4 - 6 = -2$$ Como el determinante es distinto de cero ($\text{det} \neq 0$), los tres vectores son linealmente independientes. Esto implica que las rectas se encuentran en planos diferentes y no tienen puntos en común. ✅ **Resultado (a):** $$\boxed{\text{Las rectas } r \text{ y } s \text{ se cruzan}}$$

**(b) [1'25 puntos] Halla la ecuación del plano que pasando por $P$ es paralelo a $r$ y $s$.** Si el plano $\pi$ es paralelo a las rectas $r$ y $s$, su vector normal $\vec{n}_\pi$ debe ser perpendicular a los vectores directores de ambas rectas ($\vec{v}_r$ y $\vec{v}_s$). Por tanto, podemos obtener el vector normal mediante el producto vectorial: $$\vec{n}_\pi = \vec{v}_r \times \vec{v}_s$$ 💡 **Tip:** Un plano queda determinado por un punto y dos vectores directores (contenidos o paralelos al plano). El producto vectorial de estos vectores nos da la dirección perpendicular al plano.

Calculamos el producto vectorial de $\vec{v}_r = (1, 2, -2)$ y $\vec{v}_s = (-1, 2, 0)$: $$\vec{n}_\pi = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 2 & -2 \\ -1 & 2 & 0 \end{vmatrix} = \vec{i} \begin{vmatrix} 2 & -2 \\ 2 & 0 \end{vmatrix} - \vec{j} \begin{vmatrix} 1 & -2 \\ -1 & 0 \end{vmatrix} + \vec{k} \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 2 \end{vmatrix}$$ Resolviendo los determinantes $2 \times 2$: $$\vec{n}_\pi = (0 - (-4))\vec{i} - (0 - 2)\vec{j} + (2 - (-2))\vec{k} = 4\vec{i} + 2\vec{j} + 4\vec{k}$$ $$\vec{n}_\pi = (4, 2, 4)$$ Para simplificar los cálculos, podemos usar un vector proporcional: $$\vec{n} = (2, 1, 2)$$

La ecuación general de un plano es $Ax + By + Cz + D = 0$, donde $(A, B, C)$ son las componentes del vector normal. Usando $\vec{n} = (2, 1, 2)$, tenemos: $$2x + y + 2z + D = 0$$ Como el plano pasa por el punto $P(1, 0, 0)$, sus coordenadas deben satisfacer la ecuación: $$2(1) + (0) + 2(0) + D = 0 \implies 2 + D = 0 \implies D = -2$$ Sustituimos $D$ en la ecuación: $$2x + y + 2z - 2 = 0$$ ✅ **Resultado (b):** $$\boxed{2x + y + 2z - 2 = 0}$$