Discusión y resolución de un sistema de ecuaciones lineales con parámetro

**(a) [1'75 puntos] Discute según los valores del parámetro $\lambda$ el siguiente sistema** $$\left. \begin{array}{rcl} 3x + \lambda y & = & 0 \\ x + \lambda z & = & \lambda \\ x + y + 3z & = & 1 \end{array} \right\}$$ En primer lugar, escribimos la matriz de coeficientes $A$ y la matriz ampliada $A^*$ del sistema: $$A = \begin{pmatrix} 3 & \lambda & 0 \\ 1 & 0 & \lambda \\ 1 & 1 & 3 \end{pmatrix}, \quad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 3 & \lambda & 0 & 0 \\ 1 & 0 & \lambda & \lambda \\ 1 & 1 & 3 & 1 \end{array}\right)$$ Para discutir el sistema según el Teorema de Rouché-Frobenius, calculamos el determinante de la matriz $A$ usando la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} 3 & \lambda & 0 \\ 1 & 0 & \lambda \\ 1 & 1 & 3 \end{vmatrix} = [3 \cdot 0 \cdot 3 + \lambda \cdot \lambda \cdot 1 + 0 \cdot 1 \cdot 1] - [0 \cdot 0 \cdot 1 + 3 \cdot \lambda \cdot 1 + \lambda \cdot 1 \cdot 3]$$ $$|A| = \lambda^2 - (3\lambda + 3\lambda) = \lambda^2 - 6\lambda$$ 💡 **Tip:** El Teorema de Rouché-Frobenius establece que si $rank(A) = rank(A^*) = n$ (número de incógnitas), el sistema es compatible determinado; si $rank(A) = rank(A^*) \lt n$, es compatible indeterminado; y si $rank(A) \neq rank(A^*)$, es incompatible.

Igualamos el determinante a cero para hallar los valores críticos de $\lambda$: $$|A| = 0 \implies \lambda^2 - 6\lambda = 0 \implies \lambda(\lambda - 6) = 0$$ Obtenemos dos valores: **$\lambda = 0$** y **$\lambda = 6$**. Analizaremos tres casos posibles: 1. $\lambda \neq 0$ y $\lambda \neq 6$ 2. $\lambda = 0$ 3. $\lambda = 6$

Si $\lambda \neq 0$ y $\lambda \neq 6$, entonces $|A| \neq 0$. Esto implica que el rango de la matriz de coeficientes es máximo: $$rank(A) = 3$$ Como el rango de la ampliada no puede ser mayor que 3 y el número de incógnitas es 3: $$rank(A) = rank(A^*) = 3 = n$$ Según el **Teorema de Rouché-Frobenius**, el sistema es **Compatible Determinado (SCD)**, es decir, tiene una única solución. ✅ **Resultado para $\lambda \neq 0, 6$:** $$\boxed{\text{Sistema Compatible Determinado}}$$

Si $\lambda = 0$, la matriz ampliada es: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 3 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 3 & 1 \end{array}\right)$$ Como $|A|=0$, el $rank(A)$ es menor que 3. Buscamos un menor de orden 2 distinto de cero: $$\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 1 \neq 0 \implies rank(A) = 2$$ Ahora estudiamos el rango de $A^*$. Observamos que las dos primeras filas de $A^*$ son proporcionales ($F_1 = 3F_2$): $$3x = 0 \iff x = 0$$ $$x = 0$$ Como la columna de términos independientes es nula para estas dos filas, el rango de la ampliada no puede aumentar. $$rank(A^*) = 2$$ Como $rank(A) = rank(A^*) = 2 \lt 3$, por el **Teorema de Rouché-Frobenius**, el sistema es **Compatible Indeterminado (SCI)**, tiene infinitas soluciones. ✅ **Resultado para $\lambda = 0$:** $$\boxed{\text{Sistema Compatible Indeterminado}}$$

Si $\lambda = 6$, la matriz ampliada es: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 3 & 6 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 6 & 6 \\ 1 & 1 & 3 & 1 \end{array}\right)$$ Sabemos que $|A|=0$, por lo que $rank(A) \lt 3$. Buscamos un menor de orden 2 en $A$: $$\begin{vmatrix} 3 & 6 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = -6 \neq 0 \implies rank(A) = 2$$ Comprobamos el rango de $A^*$ calculando un determinante de orden 3 que incluya la columna de términos independientes: $$\begin{vmatrix} 3 & 6 & 0 \\ 1 & 0 & 6 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = [0 + 36 + 0] - [0 + 18 + 6] = 36 - 24 = 12 \neq 0$$ Como hemos encontrado un menor de orden 3 distinto de cero en la ampliada: $$rank(A^*) = 3$$ Dado que $rank(A) \neq rank(A^*)$, por el **Teorema de Rouché-Frobenius**, el sistema es **Incompatible (SI)**, no tiene solución. ✅ **Resultado para $\lambda = 6$:** $$\boxed{\text{Sistema Incompatible}}$$

**(b) [0'75 puntos] Resuélvelo para $\lambda = 0$.** Sustituimos $\lambda = 0$ en el sistema original: $$\left. \begin{array}{rcl} 3x & = & 0 \\ x & = & 0 \\ x + y + 3z & = & 1 \end{array} \right\}$$ De las dos primeras ecuaciones obtenemos directamente **$x = 0$**. Sustituimos $x = 0$ en la tercera ecuación: $$0 + y + 3z = 1 \implies y = 1 - 3z$$ Como es un sistema compatible indeterminado con $rank=2$, necesitamos un parámetro para expresar las infinitas soluciones. Sea **$z = \alpha$** con $\alpha \in \mathbb{R}$. Entonces, la solución general es: $$\begin{cases} x = 0 \\ y = 1 - 3\alpha \\ z = \alpha \end{cases}$$ 💡 **Tip:** No olvides indicar que el parámetro $\alpha$ puede ser cualquier número real para representar todas las soluciones del sistema. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{(x, y, z) = (0, 1 - 3\alpha, \alpha) \text{ para } \alpha \in \mathbb{R}}$$