Áreas en recintos divididos por una parábola

**(a) [0'75 puntos] Dibuja dichos recintos.** Para representar los recintos, primero identificamos los límites del rectángulo y el comportamiento de la curva $y = \frac{1}{2}x^2$ dentro de él: 1. **Rectángulo:** Tiene base en el eje $X$ desde $x=0$ hasta $x=2$ y altura constante $y=1$ (puntos $C$ y $D$). El área total del rectángulo es $Base \cdot Altura = 2 \cdot 1 = 2 \text{ u}^2$. 2. **La curva:** Es una parábola convexa con vértice en $(0,0)$. - En $x=0$, $y=0$ (vértice $A$). - Queremos saber dónde corta a la parte superior del rectángulo ($y=1$): $$\frac{1}{2}x^2 = 1 \implies x^2 = 2 \implies x = \sqrt{2} \approx 1.41$$ Esto significa que la curva sale del rectángulo por el lado superior en el punto $(\sqrt{2}, 1)$, antes de llegar al lado derecho ($x=2$). 3. **Recintos:** La curva divide al rectángulo en un recinto superior izquierdo ($R_1$) y un recinto inferior derecho ($R_2$). 💡 **Tip:** Siempre es útil calcular los puntos de corte entre las funciones y los límites de la región de estudio para asegurar un dibujo preciso.

**(b) [1'75 puntos] Halla el área de cada uno de ellos.** El recinto superior ($R_1$) está delimitado superiormente por la recta $y=1$ e inferiormente por la parábola $y=\frac{1}{2}x^2$, desde $x=0$ hasta el punto de corte $x=\sqrt{2}$. Planteamos la integral definida: $$Area(R_1) = \int_{0}^{\sqrt{2}} \left( 1 - \frac{1}{2}x^2 \right) dx$$ Calculamos la primitiva: $$\int \left( 1 - \frac{1}{2}x^2 \right) dx = x - \frac{x^3}{2 \cdot 3} = x - \frac{x^3}{6}$$ Aplicamos la **Regla de Barrow**: $$Area(R_1) = \left[ x - \frac{x^3}{6} \right]_{0}^{\sqrt{2}} = \left( \sqrt{2} - \frac{(\sqrt{2})^3}{6} \right) - (0)$$ Como $(\sqrt{2})^3 = 2\sqrt{2}$: $$Area(R_1) = \sqrt{2} - \frac{2\sqrt{2}}{6} = \sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}}{3} = \frac{3\sqrt{2} - \sqrt{2}}{3} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el área entre dos curvas $f(x)$ y $g(x)$ en $[a,b]$ es $\int_a^b (f_{superior} - g_{inferior}) dx$. ✅ **Resultado Área 1:** $$\boxed{Area(R_1) = \frac{2\sqrt{2}}{3} \text{ u}^2 \approx 0.943 \text{ u}^2}$$

Para hallar el área del segundo recinto ($R_2$), podemos calcularla por diferencia con el área total del rectángulo, lo cual es mucho más sencillo que integrar por partes. Sabemos que: $$Area_{Total} = Base \cdot Altura = 2 \cdot 1 = 2 \text{ u}^2$$ Por tanto: $$Area(R_2) = Area_{Total} - Area(R_1)$$ $$Area(R_2) = 2 - \frac{2\sqrt{2}}{3}$$ Podemos expresar el resultado de forma exacta unificando el denominador: $$Area(R_2) = \frac{6 - 2\sqrt{2}}{3} \text{ u}^2$$ Alternativamente, podríamos haber planteado la integral para $R_2$ como $\int_0^{\sqrt{2}} \frac{1}{2}x^2 dx + \int_{\sqrt{2}}^2 1 dx$, pero el método de la resta es menos propenso a errores. ✅ **Resultado Área 2:** $$\boxed{Area(R_2) = 2 - \frac{2\sqrt{2}}{3} \text{ u}^2 \approx 1.057 \text{ u}^2}$$