Estudio de asíntotas de una función con radicales

Para determinar las asíntotas, primero debemos observar el dominio de la función, que viene dado en el enunciado como $D_f = [1, +\infty)$. Las **asíntotas verticales** suelen aparecer en los puntos donde la función no está definida o en los extremos abiertos del dominio donde el límite es infinito. Calculamos el límite en el extremo inferior del dominio ($x=1$): $$\lim_{x \to 1^+} (\sqrt{x^2 - x} + x) = \sqrt{1^2 - 1} + 1 = 0 + 1 = 1$$ Como el límite es finito, no hay asíntota vertical en $x=1$. Dado que la función es continua en todo su dominio $[1, +\infty)$ por ser suma y composición de funciones continuas (y el radicando $x^2-x \ge 0$ para $x \ge 1$), ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{No existen asíntotas verticales}}$$

Buscamos el límite de la función cuando $x \to +\infty$: $$\lim_{x \to +\infty} (\sqrt{x^2 - x} + x) = \sqrt{\infty} + \infty = +\infty$$ Como el límite es infinito, no existe asíntota horizontal por la derecha. 💡 **Tip:** Recuerda que una función $f(x)$ tiene una asíntota horizontal $y = L$ si $\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = L$ (siendo $L$ un número real). Si el límite es infinito, procedemos a buscar asíntotas oblicuas. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{No existen asíntotas horizontales}}$$

Buscamos una asíntota oblicua de la forma $y = mx + n$ cuando $x \to +\infty$. Calculamos la pendiente $m$: $$m = \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{x^2 - x} + x}{x}$$ Dividimos cada término del numerador por $x$ (teniendo en cuenta que para $x > 0$, $x = \sqrt{x^2}$): $$m = \lim_{x \to +\infty} \left( \frac{\sqrt{x^2 - x}}{\sqrt{x^2}} + \frac{x}{x} \right) = \lim_{x \to +\infty} \left( \sqrt{\frac{x^2}{x^2} - \frac{x}{x^2}} + 1 \right)$$ $$m = \lim_{x \to +\infty} \left( \sqrt{1 - \frac{1}{x}} + 1 \right) = \sqrt{1 - 0} + 1 = 2$$ Como $m = 2$ es un valor real distinto de cero, existe la posibilidad de tener una asíntota oblicua. ✅ **Resultado:** $$\boxed{m = 2}$$

Calculamos ahora el parámetro $n$: $$n = \lim_{x \to +\infty} (f(x) - mx) = \lim_{x \to +\infty} (\sqrt{x^2 - x} + x - 2x) = \lim_{x \to +\infty} (\sqrt{x^2 - x} - x)$$ Esto presenta una indeterminación de tipo $\infty - \infty$. Para resolverla, multiplicamos y dividimos por el conjugado: $$n = \lim_{x \to +\infty} \frac{(\sqrt{x^2 - x} - x)(\sqrt{x^2 - x} + x)}{\sqrt{x^2 - x} + x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{(x^2 - x) - x^2}{\sqrt{x^2 - x} + x}$$ $$n = \lim_{x \to +\infty} \frac{-x}{\sqrt{x^2 - x} + x}$$ Dividimos numerador y denominador por $x$: $$n = \lim_{x \to +\infty} \frac{-1}{\sqrt{\frac{x^2}{x^2} - \frac{x}{x^2}} + \frac{x}{x}} = \lim_{x \to +\infty} \frac{-1}{\sqrt{1 - \frac{1}{x}} + 1} = \frac{-1}{1 + 1} = -\frac{1}{2}$$ 💡 **Tip:** Al resolver límites con raíces infinitas, el uso del conjugado es la técnica estándar para eliminar la indeterminación $\infty - \infty$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{n = -\frac{1}{2}}$$

Habiendo obtenido $m = 2$ y $n = -1/2$, la función presenta una única asíntota oblicua cuando $x \to +\infty$. La ecuación de la asíntota es: $$\boxed{y = 2x - \frac{1}{2}}$$