Plano que contiene a una recta y es paralelo a otra

Para hallar el plano, primero necesitamos extraer un punto y un vector director de la recta $r$. La recta viene dada como intersección de dos planos: 1. **Punto de $r$ ($P_r$):** Asignamos un valor a una de las variables. Si hacemos $x = 1$: - De $2x - z = 2 \implies 2(1) - z = 2 \implies z = 0$. - De $y = -1$ ya tenemos el valor de la ordenada. Así, un punto de la recta es $P_r(1, -1, 0)$. 2. **Vector director de $r$ ($\vec{v_r}$):** Podemos obtenerlo mediante el producto vectorial de los vectores normales de los planos que definen la recta: $\vec{n_1} = (0, 1, 0)$ $\vec{n_2} = (2, 0, -1)$ $$\vec{v_r} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & -1 \end{vmatrix}$$ Resolviendo por Sarrus: $$\vec{v_r} = \vec{i}(-1) - \vec{j}(0) + \vec{k}(-2) = (-1, 0, -2)$$ Para simplificar los cálculos, podemos usar el vector con signo opuesto: **$\vec{v_r} = (1, 0, 2)$**. 💡 **Tip:** El vector director de una recta definida por dos planos es siempre perpendicular a ambos vectores normales, por eso usamos el producto vectorial.

La recta $s$ viene dada en forma paramétrica: $$\begin{cases} x = 4 + 3\lambda \\ y = 3 - \lambda \\ z = 5 + 4\lambda \end{cases}$$ De aquí extraemos directamente su vector director: **$\vec{v_s} = (3, -1, 4)$**. El plano $\pi$ que buscamos debe cumplir dos condiciones: 1. **Contiene a $r$**: Por tanto, el punto $P_r(1, -1, 0)$ pertenece al plano y el vector $\vec{v_r} = (1, 0, 2)$ es paralelo al plano. 2. **Es paralelo a $s$**: Por tanto, el vector $\vec{v_s} = (3, -1, 4)$ también es paralelo al plano. Contamos con un punto y dos vectores directores no proporcionales, lo que define unívocamente al plano.

La ecuación implícita del plano $\pi$ se obtiene anulando el determinante formado por un punto genérico $X(x, y, z)$ y los elementos conocidos: $$\begin{vmatrix} x - x_{Pr} & y - y_{Pr} & z - z_{Pr} \\ v_{r1} & v_{r2} & v_{r3} \\ v_{s1} & v_{s2} & v_{s3} \end{vmatrix} = 0$$ Sustituimos los valores $P_r(1, -1, 0)$, $\vec{v_r} = (1, 0, 2)$ y $\vec{v_s} = (3, -1, 4)$: $$\begin{vmatrix} x - 1 & y + 1 & z \\ 1 & 0 & 2 \\ 3 & -1 & 4 \end{vmatrix} = 0$$ Desarrollamos el determinante por la primera fila: $$(x - 1) \begin{vmatrix} 0 & 2 \\ -1 & 4 \end{vmatrix} - (y + 1) \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{vmatrix} + z \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 3 & -1 \end{vmatrix} = 0$$ Calculamos los adjuntos: - $(x - 1)[(0)(4) - (-1)(2)] = (x - 1)(2)$ - $-(y + 1)[(1)(4) - (3)(2)] = -(y + 1)(-2) = 2(y + 1)$ - $z[(1)(-1) - (3)(0)] = z(-1)$ Sumamos los términos: $$2(x - 1) + 2(y + 1) - z = 0$$ $$2x - 2 + 2y + 2 - z = 0$$ $$2x + 2y - z = 0$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{2x + 2y - z = 0}$$ 💡 **Tip:** Puedes comprobar que el plano es paralelo a $s$ verificando que el producto escalar del vector normal del plano $\vec{n_\pi} = (2, 2, -1)$ y el vector director de la recta $\vec{v_s} = (3, -1, 4)$ es cero: $2(3) + 2(-1) + (-1)(4) = 6 - 2 - 4 = 0$.