Determinantes y ecuaciones matriciales

**(a) [1 punto] Si las matrices son cuadradas de orden $3$, y se sabe que el determinante de $A$ es $3$, el de $B$ es $-1$ y el de $C$ es $6$, calcula el determinante de las matrices $X$ y $2X$.** Partimos de la ecuación matricial $AXB = C$. Aplicamos la propiedad de que el determinante de un producto de matrices es el producto de sus determinantes: $$|AXB| = |C| \implies |A| \cdot |X| \cdot |B| = |C|$$ Sustituimos los valores conocidos dados en el enunciado ($|A|=3, |B|=-1, |C|=6$): $$3 \cdot |X| \cdot (-1) = 6$$ $$-3|X| = 6$$ $$|X| = \frac{6}{-3} = -2$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para matrices cuadradas del mismo orden, se cumple $|A \cdot B| = |A| \cdot |B|$. ✅ **Resultado $|X|$:** $$\boxed{|X| = -2}$$

Para calcular el determinante de $2X$, utilizamos la propiedad del determinante de una matriz multiplicada por un escalar. Si $X$ es una matriz de orden $n$, entonces $|k \cdot X| = k^n \cdot |X|$. En este caso, las matrices son de orden $n=3$ y el escalar es $k=2$: $$|2X| = 2^3 \cdot |X|$$ $$|2X| = 8 \cdot (-2) = -16$$ 💡 **Tip:** Es un error común olvidar elevar el escalar al orden de la matriz. No olvides que $|k A| = k^n |A|$. ✅ **Resultado $|2X|$:** $$\boxed{|2X| = -16}$$

**(b) [1'5 puntos] Si $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & -2 \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 2 & -3 \end{pmatrix}$ y $C = \begin{pmatrix} 0 & 3 \\ 4 & 2 \end{pmatrix}$ calcula la matriz $X$.** Para resolver $AXB = C$, debemos aislar $X$. Para ello, multiplicamos por la izquierda por $A^{-1}$ y por la derecha por $B^{-1}$, siempre que estas inversas existan: $$A^{-1} \cdot (AXB) \cdot B^{-1} = A^{-1} \cdot C \cdot B^{-1}$$ $$(A^{-1} A) \cdot X \cdot (B B^{-1}) = A^{-1} C B^{-1}$$ $$I \cdot X \cdot I = A^{-1} C B^{-1}$$ $$X = A^{-1} C B^{-1}$$ 💡 **Tip:** En álgebra matricial, el orden de los factores importa. Si multiplicas por $A^{-1}$ por la izquierda en un lado, debes hacerlo también por la izquierda en el otro.

Calculamos primero el determinante de $A$: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & -2 \end{vmatrix} = (1)(-2) - (1)(0) = -2$$ Como $|A| \neq 0$, existe $A^{-1}$. Usamos la fórmula $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{Adj}(A)^T$: 1. Matriz de adjuntos $\text{Adj}(A) = \begin{pmatrix} -2 & 0 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$ 2. Traspuesta de la adjunta $\text{Adj}(A)^T = \begin{pmatrix} -2 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ 3. Inversa: $A^{-1} = \frac{1}{-2} \begin{pmatrix} -2 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1/2 \\ 0 & -1/2 \end{pmatrix}$ ✅ **Resultado $A^{-1}$:** $$\boxed{A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 1/2 \\ 0 & -1/2 \end{pmatrix}}$$

Calculamos el determinante de $B$: $$|B| = \begin{vmatrix} 1 & -2 \\ 2 & -3 \end{vmatrix} = (1)(-3) - (-2)(2) = -3 + 4 = 1$$ Como $|B| \neq 0$, existe $B^{-1}$: 1. Matriz de adjuntos $\text{Adj}(B) = \begin{pmatrix} -3 & -2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$ 2. Traspuesta de la adjunta $\text{Adj}(B)^T = \begin{pmatrix} -3 & 2 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}$ 3. Inversa: $B^{-1} = \frac{1}{1} \begin{pmatrix} -3 & 2 \\ -2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 & 2 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}$ ✅ **Resultado $B^{-1}$:** $$\boxed{B^{-1} = \begin{pmatrix} -3 & 2 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}}$$

Sustituimos en la expresión $X = A^{-1} C B^{-1}$: Primero calculamos $A^{-1} C$: $$A^{-1} C = \begin{pmatrix} 1 & 1/2 \\ 0 & -1/2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 3 \\ 4 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (1)(0) + (1/2)(4) & (1)(3) + (1/2)(2) \\ (0)(0) + (-1/2)(4) & (0)(3) + (-1/2)(2) \end{pmatrix}$$ $$A^{-1} C = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ -2 & -1 \end{pmatrix}$$ Ahora multiplicamos por $B^{-1}$: $$X = (A^{-1} C) B^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ -2 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -3 & 2 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}$$ $$X = \begin{pmatrix} (2)(-3) + (4)(-2) & (2)(2) + (4)(1) \\ (-2)(-3) + (-1)(-2) & (-2)(2) + (-1)(1) \end{pmatrix}$$ $$X = \begin{pmatrix} -6 - 8 & 4 + 4 \\ 6 + 2 & -4 - 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -14 & 8 \\ 8 & -5 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} -14 & 8 \\ 8 & -5 \end{pmatrix}}$$