Recta tangente y cálculo de áreas

**(a) [1'25 puntos] Determina las constantes $m$ y $n$. Halla la ecuación de dicha recta tangente.** Para determinar los parámetros $m$ y $n$, utilizaremos la información proporcionada en el enunciado: 1. **El punto $(1, -6)$ pertenece a la gráfica:** Esto significa que $f(1) = -6$. $$f(1) = m(1)^2 + n(1) - 3 = -6 \implies m + n - 3 = -6 \implies m + n = -3$$ 2. **La recta tangente en $x = 1$ es paralela a $y = -x$:** Dos rectas son paralelas si tienen la misma pendiente. La pendiente de $y = -x$ es $-1$. Por tanto, la pendiente de la tangente, que es $f'(1)$, debe ser $-1$. Calculamos la derivada de la función: $$f'(x) = 2mx + n$$ Igualamos la derivada en $x = 1$ a la pendiente deseada: $$f'(1) = 2m(1) + n = -1 \implies 2m + n = -1$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la derivada de una función en un punto es el valor de la pendiente de la recta tangente a la gráfica en dicho punto.

Resolvemos el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas: $$\begin{cases} m + n = -3 \quad \text{(ec. 1)} \\ 2m + n = -1 \quad \text{(ec. 2)} \end{cases}$$ Restamos la primera ecuación a la segunda para eliminar $n$: $$(2m + n) - (m + n) = -1 - (-3)$$ $$m = 2$$ Sustituimos $m = 2$ en la primera ecuación: $$2 + n = -3 \implies n = -5$$ Por tanto, los valores de las constantes son **$m = 2$** y **$n = -5$**. La función es: $$\boxed{f(x) = 2x^2 - 5x - 3}$$

Para hallar la recta tangente en el punto $(1, -6)$, utilizamos la fórmula de la recta en forma punto-pendiente: $$y - y_0 = m_T(x - x_0)$$ Donde $(x_0, y_0) = (1, -6)$ y la pendiente es $m_T = f'(1) = -1$. $$y - (-6) = -1(x - 1)$$ $$y + 6 = -x + 1$$ $$y = -x - 5$$ ✅ **Resultado (Apartado a):** $$\boxed{m = 2, \quad n = -5, \quad \text{Recta tangente: } y = -x - 5}$$

**(b) [1'25 puntos] Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de la función, la recta tangente anterior y el eje de ordenadas.** El recinto está limitado por: - La función: $f(x) = 2x^2 - 5x - 3$ - La recta tangente: $t(x) = -x - 5$ - El eje de ordenadas: $x = 0$ - El punto de tangencia: $x = 1$ El área se calcula mediante la integral definida de la diferencia de las funciones entre los límites de integración $x = 0$ y $x = 1$: $$A = \int_{0}^{1} |f(x) - t(x)| \, dx$$ Estudiamos la diferencia: $$f(x) - t(x) = (2x^2 - 5x - 3) - (-x - 5) = 2x^2 - 4x + 2$$ Observemos que $2x^2 - 4x + 2 = 2(x^2 - 2x + 1) = 2(x-1)^2$. Como es un cuadrado perfecto multiplicado por un número positivo, $2(x-1)^2 \ge 0$ para todo $x$, lo que significa que la parábola está siempre por encima de la tangente (o la toca). 💡 **Tip:** El área entre dos curvas $f(x)$ y $g(x)$ desde $a$ hasta $b$ es $\int_{a}^{b} [f(x) - g(x)] dx$ si $f(x) \ge g(x)$ en ese intervalo.

Calculamos la integral definida aplicando la regla de Barrow: $$A = \int_{0}^{1} (2x^2 - 4x + 2) \, dx = \left[ \frac{2x^3}{3} - \frac{4x^2}{2} + 2x \right]_{0}^{1}$$ $$A = \left[ \frac{2x^3}{3} - 2x^2 + 2x \right]_{0}^{1}$$ Evaluamos en los límites: $$A = \left( \frac{2(1)^3}{3} - 2(1)^2 + 2(1) \right) - \left( \frac{2(0)^3}{3} - 2(0)^2 + 2(0) \right)$$ $$A = \left( \frac{2}{3} - 2 + 2 \right) - 0 = \frac{2}{3}$$ ✅ **Resultado (Apartado b):** $$\boxed{\text{Área} = \frac{2}{3} \text{ unidades cuadradas}}$$