Optimización de áreas: cuadrado y rectángulo

Sea $x$ la longitud del primer trozo (en cm) destinado a formar el **cuadrado**. Entonces, la longitud del segundo trozo será $20 - x$, destinado a formar el **rectángulo**. Establecemos las dimensiones de cada figura en función de $x$: 1. **Cuadrado:** Si el perímetro es $x$, cada lado mide $l = \frac{x}{4}$. El área del cuadrado será: $A_C = l^2 = \left(\frac{x}{4}\right)^2 = \frac{x^2}{16}$. 2. **Rectángulo:** El perímetro es $20 - x$. Si llamamos $h$ a la altura y $b$ a la base, el enunciado indica que $b = 2h$. El perímetro del rectángulo es $P = 2b + 2h = 2(2h) + 2h = 6h$. Igualamos al trozo disponible: $6h = 20 - x \implies h = \frac{20-x}{6}$. La base será: $b = 2h = \frac{2(20-x)}{6} = \frac{20-x}{3}$. El área del rectángulo será: $A_R = b \cdot h = \frac{20-x}{3} \cdot \frac{20-x}{6} = \frac{(20-x)^2}{18}$. 💡 **Tip:** Recuerda que el perímetro de una figura es la suma de todos sus lados y el área es la medida de su superficie.

La función que queremos minimizar es la suma de ambas áreas, $A(x) = A_C + A_R$. Definimos el dominio en el intervalo $x \in [0, 20]$. $$A(x) = \frac{x^2}{16} + \frac{(20-x)^2}{18}$$ Para facilitar la derivación, podemos desarrollar el binomio o derivar usando la regla de la cadena: $$A(x) = \frac{1}{16}x^2 + \frac{1}{18}(20-x)^2$$ 💡 **Tip:** En problemas de optimización, siempre es útil definir el dominio físico de la variable (en este caso, $x$ no puede ser menor que 0 ni mayor que la longitud total del segmento).

Para hallar el mínimo, calculamos la primera derivada $A'(x)$ e igualamos a cero: $$A'(x) = \frac{2x}{16} + \frac{2(20-x)(-1)}{18}$$ $$A'(x) = \frac{x}{8} - \frac{20-x}{9}$$ Igualamos a cero para encontrar los puntos críticos: $$\frac{x}{8} - \frac{20-x}{9} = 0 \implies \frac{x}{8} = \frac{20-x}{9}$$ $$9x = 8(20 - x) \implies 9x = 160 - 8x$$ $$17x = 160 \implies x = \frac{160}{17} \approx 9,41 \text{ cm}$$ 💡 **Tip:** Al derivar $(20-x)^2$, no olvides el signo negativo que proviene de la derivada interna de $-x$ por la regla de la cadena.

Para confirmar que se trata de un mínimo, utilizamos el criterio de la segunda derivada: $$A''(x) = \frac{1}{8} - \left(\frac{-1}{9}\right) = \frac{1}{8} + \frac{1}{9} = \frac{17}{72}$$ Como $A''(x) = \frac{17}{72} > 0$ para cualquier valor de $x$, la función es convexa y el punto crítico hallado es un **mínimo relativo** (y absoluto en el intervalo). Calculamos las longitudes de ambos trozos: - **Trozo para el cuadrado:** $x = \frac{160}{17}$ cm. - **Trozo para el rectángulo:** $20 - x = 20 - \frac{160}{17} = \frac{340 - 160}{17} = \frac{180}{17}$ cm. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Trozo cuadrado: } \frac{160}{17} \approx 9,41 \text{ cm, Trozo rectángulo: } \frac{180}{17} \approx 10,59 \text{ cm}}$$