Geometría: Plano perpendicular y distancia punto-recta

**(a) [1 punto] Halla la ecuación del plano perpendicular a $r$ que pasa por $A$.** Primero, necesitamos conocer la dirección de la recta $r$. Como viene dada por la intersección de dos planos, su vector director $\vec{v_r}$ se obtiene mediante el producto vectorial de los vectores normales de dichos planos: $\vec{n_1} = (1, 1, 0)$ y $\vec{n_2} = (2, 1, 1)$. Calculamos el producto vectorial mediante la regla de Sarrus: $$\vec{v_r} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 1 \end{vmatrix}$$ $$\vec{v_r} = (1 \cdot 1 - 0 \cdot 1)\vec{i} - (1 \cdot 1 - 0 \cdot 2)\vec{j} + (1 \cdot 1 - 1 \cdot 2)\vec{k}$$ $$\vec{v_r} = 1\vec{i} - 1\vec{j} - 1\vec{k} = (1, -1, -1)$$ Para el apartado (b) necesitaremos un punto $P_r$ de la recta. Asignamos un valor arbitrario a una variable, por ejemplo $x = 0$: $$0 + y = 2 \implies y = 2$$ $$2(0) + 2 + z = 7 \implies z = 5$$ Así, tenemos un punto de la recta: **$P_r(0, 2, 5)$**. 💡 **Tip:** El vector director de una recta definida por dos planos es perpendicular a los vectores normales de ambos, por eso usamos el producto vectorial.

Un plano $\pi$ perpendicular a una recta $r$ tiene como vector normal el vector director de dicha recta. Por tanto: $$\vec{n_\pi} = \vec{v_r} = (1, -1, -1)$$ La ecuación general del plano será del tipo $x - y - z + D = 0$. Como el plano debe pasar por el punto $A(1, -2, 1)$, sustituimos sus coordenadas para hallar $D$: $$1 - (-2) - 1 + D = 0$$ $$1 + 2 - 1 + D = 0 \implies D = -2$$ Sustituyendo $D$, obtenemos la ecuación del plano: ✅ **Resultado (Ecuación del plano):** $$\boxed{x - y - z - 2 = 0}$$

**(b) [1'5 puntos] Calcula la distancia del punto $A$ a la recta $r$.** Utilizaremos la fórmula de la distancia de un punto a una recta en el espacio: $$d(A, r) = \frac{|\vec{P_rA} \times \vec{v_r}|}{|\vec{v_r}|}$$ Donde: - $P_r(0, 2, 5)$ es un punto de la recta. - $A(1, -2, 1)$ es el punto dado. - $\vec{v_r} = (1, -1, -1)$ es el vector director de $r$. Primero, calculamos el vector $\vec{P_rA}$: $$\vec{P_rA} = (1 - 0, -2 - 2, 1 - 5) = (1, -4, -4)$$ 💡 **Tip:** Esta fórmula representa el área del paralelogramo formado por los vectores dividida por la base (longitud del vector director), lo que nos da la altura (la distancia buscada).

Calculamos el producto vectorial $\vec{P_rA} \times \vec{v_r}$ mediante el determinante: $$\vec{P_rA} \times \vec{v_r} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & -4 & -4 \\ 1 & -1 & -1 \end{vmatrix}$$ Aplicando la resolución por adjuntos o Sarrus: - Componente $\vec{i}: (-4)(-1) - (-4)(-1) = 4 - 4 = 0$ - Componente $\vec{j}: -(1(-1) - (-4)1) = -(-1 + 4) = -3$ - Componente $\vec{k}: 1(-1) - (-4)1 = -1 + 4 = 3$ Resultando el vector $(0, -3, 3)$. Ahora calculamos los módulos: $$|\vec{P_rA} \times \vec{v_r}| = \sqrt{0^2 + (-3)^2 + 3^2} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$$ $$|\vec{v_r}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{3}$$ Sustituimos en la fórmula de la distancia: $$d(A, r) = \frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$$ Racionalizamos multiplicando por $\sqrt{3}$ arriba y abajo: $$d(A, r) = \frac{3\sqrt{6}}{3} = \sqrt{6} \approx 2.45 \text{ unidades}$$ ✅ **Resultado (Distancia):** $$\boxed{d(A, r) = \sqrt{6} \text{ u}}$$