Sistema de ecuaciones con parámetros y resolución de precios

**(a) [1'5 puntos] ¿Hay algún valor de $n$ para el que estas dos pistas sean incompatibles?** Primero, definimos las variables que representan los precios de cada producto: - $x$: precio del producto $A$ (en euros). - $y$: precio del producto $B$ (en euros). - $z$: precio del producto $C$ (en euros). A partir de las pistas dadas, planteamos el sistema de ecuaciones: $$\begin{cases} x + 2y + z = 118 \\ nx + (n+3)y + 3z = 390 \end{cases}$$ Para analizar la compatibilidad, escribimos la matriz de coeficientes $M$ y la matriz ampliada $M^*$: $$M = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ n & n+3 & 3 \end{pmatrix}; \quad M^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 1 & 118 \\ n & n+3 & 3 & 390 \end{array}\right)$$ 💡 **Tip:** Según el Teorema de Rouché-Frobenius, un sistema es incompatible si el rango de la matriz de coeficientes es menor que el rango de la matriz ampliada ($rank(M) \lt rank(M^*)$).

La matriz $M$ tiene dimensión $2 \times 3$, por lo que su rango máximo es $2$. El rango será menor que $2$ (es decir, $rank(M) = 1$) si todos sus menores de orden $2$ son cero. Calculamos los menores de orden $2$ de $M$: 1. $\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ n & n+3 \end{vmatrix} = (n+3) - 2n = 3 - n$ 2. $\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ n & 3 \end{vmatrix} = 3 - n$ 3. $\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ n+3 & 3 \end{vmatrix} = 6 - (n+3) = 3 - n$ Para que el rango sea $1$, todos los menores deben anularse: $$3 - n = 0 \implies n = 3$$ - Si $n \neq 3$, entonces $rank(M) = 2$. Como el rango de $M^*$ no puede ser mayor que el número de filas (que es 2), entonces $rank(M) = rank(M^*) = 2$. El sistema sería compatible indeterminado (más incógnitas que ecuaciones). - Si **$n = 3$**, entonces **$rank(M) = 1$**.

Si $n = 3$, comprobamos el rango de la matriz ampliada $M^*$. Sustituimos $n=3$ en $M^*$: $$M^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 1 & 118 \\ 3 & 6 & 3 & 390 \end{array}\right)$$ Calculamos un menor de orden $2$ que incluya la columna de términos independientes: $$\begin{vmatrix} 1 & 118 \\ 3 & 390 \end{vmatrix} = 390 - 3(118) = 390 - 354 = 36 \neq 0$$ Como existe un menor de orden $2$ no nulo, **$rank(M^*) = 2$**. Comparando los rangos para $n = 3$: - $rank(M) = 1$ - $rank(M^*) = 2$ Como $rank(M) \neq rank(M^*)$, por el **Teorema de Rouché-Frobenius**, el sistema es **incompatible**. ✅ **Resultado (a):** $$\boxed{n = 3}$$ 💡 **Tip:** Un sistema de dos ecuaciones es incompatible si los coeficientes de las variables son proporcionales entre sí, pero no lo son con los términos independientes.

**(b) [1 punto] Sabiendo que $n = 4$ y que el producto $C$ cuesta el triple que el producto $A$, calcula el precio de cada producto.** Sustituimos $n = 4$ en el sistema inicial y añadimos la nueva condición $z = 3x$: $$\begin{cases} x + 2y + z = 118 & (1) \\ 4x + (4+3)y + 3z = 390 & (2) \\ z = 3x & (3) \end{cases}$$ Simplificamos sustituyendo la ecuación $(3)$ en las otras dos: En (1): $x + 2y + (3x) = 118 \implies 4x + 2y = 118 \implies 2x + y = 59$ En (2): $4x + 7y + 3(3x) = 390 \implies 4x + 7y + 9x = 390 \implies 13x + 7y = 390$ Ahora tenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas: $$\begin{cases} 2x + y = 59 \\ 13x + 7y = 390 \end{cases}$$ 💡 **Tip:** Siempre que tengas una relación directa entre dos variables (como $z=3x$), sustitúyela de inmediato para reducir el número de incógnitas del sistema.

Resolvemos por el método de sustitución. De la primera ecuación despejamos $y$: $$y = 59 - 2x$$ Sustituimos en la segunda ecuación: $$13x + 7(59 - 2x) = 390$$ $$13x + 413 - 14x = 390$$ $$-x = 390 - 413$$ $$-x = -23 \implies \mathbf{x = 23}$$ Ahora calculamos $y$: $$y = 59 - 2(23) = 59 - 46 \implies \mathbf{y = 13}$$ Finalmente, calculamos $z$ usando la relación $z = 3x$: $$z = 3(23) \implies \mathbf{z = 69}$$ Los precios son: $A = 23$ €, $B = 13$ € y $C = 69$ €. ✅ **Resultado (b):** $$\boxed{A = 23\text{ euros}, B = 13\text{ euros}, C = 69\text{ euros}}$$