Área entre función valor absoluto y parábola

**(a) [1 punto] Esboza el recinto limitado por sus gráficas.** Para esbozar el recinto, analizamos el comportamiento de ambas funciones: 1. **Función $f(x) = |x|$**: Es la función valor absoluto, que podemos expresar de forma ramificada como: $$f(x)=\begin{cases} -x & \text{si } x \lt 0, \\ x & \text{si } x \ge 0. \end{cases}$$ Su gráfica es una "V" con el vértice en el origen $(0,0)$ y bisectriz de los cuadrantes primero y segundo. 2. **Función $g(x) = 6 - x^2$**: Es una parábola cóncava (abierta hacia abajo, ya que el coeficiente de $x^2$ es negativo) con su vértice en el punto $(0, 6)$. Sus puntos de corte con el eje $X$ se obtienen haciendo $g(x)=0$: $$6 - x^2 = 0 \implies x^2 = 6 \implies x = \pm\sqrt{6} \approx \pm 2.45.$$ El recinto queda encerrado entre la parábola (por arriba) y la forma en V del valor absoluto (por abajo). 💡 **Tip:** Recuerda que las funciones con valor absoluto suelen generar un punto anguloso donde el argumento se anula; en este caso, en $x=0$.

**(b) [1'5 puntos] Calcula el área de dicho recinto.** Para calcular el área, primero debemos hallar los puntos de intersección resolviendo la ecuación $f(x) = g(x)$, es decir, $|x| = 6 - x^2$. Separamos según la definición de valor absoluto: - **Si $x \ge 0$**: $x = 6 - x^2 \implies x^2 + x - 6 = 0$. Aplicando la fórmula cuadrática: $$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(-6)}}{2} = \frac{-1 \pm 5}{2} \implies x_1 = 2, \, x_2 = -3.$$ Como estamos en el caso $x \ge 0$, solo nos sirve **$x = 2$**. - **Si $x \lt 0$**: $-x = 6 - x^2 \implies x^2 - x - 6 = 0$. $$x = \frac{1 \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(1)(-6)}}{2} = \frac{1 \pm 5}{2} \implies x_1 = 3, \, x_2 = -2.$$ Como estamos en el caso $x \lt 0$, solo nos sirve **$x = -2$**. Los puntos de corte son $(-2, 2)$ y $(2, 2)$. 💡 **Tip:** También podías observar que ambas funciones son pares ($f(x)=f(-x)$ y $g(x)=g(-x)$), por lo que si intersecan en $x=2$, obligatoriamente deben intersecar en $x=-2$.

El área $A$ del recinto viene dada por la integral de la función "techo" menos la función "suelo" entre los límites de corte: $$A = \int_{-2}^{2} (g(x) - f(x)) \, dx = \int_{-2}^{2} (6 - x^2 - |x|) \, dx$$ Debido a la **simetría del recinto** respecto al eje $Y$ (ambas funciones son pares), el área a la izquierda del eje es igual al área a la derecha. Podemos calcular el doble del área desde $x=0$ hasta $x=2$: $$A = 2 \int_{0}^{2} (g(x) - f(x)) \, dx$$ En el intervalo $[0, 2]$, sabemos que $|x| = x$, por lo tanto: $$A = 2 \int_{0}^{2} (6 - x^2 - x) \, dx$$ 💡 **Tip:** Usar la simetría simplifica mucho el cálculo, ya que evita tener que dividir la integral en dos partes para quitar el valor absoluto y trabajar con el límite inferior $0$ suele ser más sencillo.

Calculamos la integral definida aplicando la regla de Barrow: 1. Hallamos la primitiva: $$\int (6 - x^2 - x) \, dx = 6x - \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2}$$ 2. Aplicamos los límites de integración: $$A = 2 \left[ 6x - \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} \right]_0^2$$ $$A = 2 \left( \left( 6(2) - \frac{2^3}{3} - \frac{2^2}{2} \right) - \left( 6(0) - \frac{0^3}{3} - \frac{0^2}{2} \right) \right)$$ $$A = 2 \left( 12 - \frac{8}{3} - 2 \right) = 2 \left( 10 - \frac{8}{3} \right)$$ 3. Operamos para obtener el resultado final: $$A = 2 \left( \frac{30 - 8}{3} \right) = 2 \left( \frac{22}{3} \right) = \frac{44}{3}$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Área} = \frac{44}{3} \text{ u}^2 \approx 14.67 \text{ u}^2}$$