Análisis 2009 Andalucia
Cálculo de parámetros de una función cúbica
Ejercicio 1.- [2'5 puntos] Sea $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ la función definida por $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$. Calcula los valores de $a, b, c$ y $d$ sabiendo que $f$ verifica:
* El punto $(0,1)$ es un punto de inflexión de la gráfica de $f$.
* $f$ tiene un mínimo local en el punto de abscisa $x = 1$.
* La recta tangente a la gráfica de $f$ en el punto de abscisa $x = 2$ tiene pendiente $1$.
Paso 1
Planteamiento de la función y sus derivadas
Para resolver este ejercicio, primero identificamos la función y calculamos sus derivadas sucesivas, ya que las condiciones del enunciado implican el uso de la propia función, su primera derivada (para extremos y pendientes) y su segunda derivada (para puntos de inflexión).
La función es:
$$f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$$
Calculamos la primera derivada:
$$f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c$$
Calculamos la segunda derivada:
$$f''(x) = 6ax + 2b$$
💡 **Tip:** Recuerda que si un punto es un extremo local, la primera derivada en ese punto es cero ($f'(x_0)=0$). Si es un punto de inflexión, la segunda derivada en ese punto es cero ($f''(x_0)=0$).
Paso 2
Condiciones del punto de inflexión en $(0,1)$
El enunciado nos da dos datos fundamentales sobre el punto $(0,1)$:
1. **El punto pertenece a la gráfica:** Esto significa que $f(0) = 1$.
$$f(0) = a(0)^3 + b(0)^2 + c(0) + d = 1 \implies \mathbf{d = 1}$$
2. **Es un punto de inflexión:** Esto implica que la segunda derivada en $x=0$ debe ser cero ($f''(0) = 0$).
$$f''(0) = 6a(0) + 2b = 0 \implies 2b = 0 \implies \mathbf{b = 0}$$
💡 **Tip:** Un punto de inflexión $(x_0, y_0)$ siempre debe satisfacer $f(x_0) = y_0$ y, generalmente, $f''(x_0) = 0$.
Paso 3
Condición del mínimo local en $x=1$
Se nos indica que hay un mínimo local en $x=1$. Esto significa que la primera derivada se anula en ese punto ($f'(1) = 0$).
Utilizamos la expresión de $f'(x)$ y sustituimos $b=0$ (hallado anteriormente):
$$f'(1) = 3a(1)^2 + 2b(1) + c = 0$$
$$3a + 2(0) + c = 0 \implies 3a + c = 0 \implies \mathbf{c = -3a}$$
💡 **Tip:** No olvides que para asegurar que es un mínimo, se debería cumplir $f''(1) > 0$. Comprobaremos esto al final.
Paso 4
Condición de la pendiente de la recta tangente en $x=2$
La pendiente de la recta tangente a la gráfica en un punto $x=x_0$ coincide con el valor de la derivada $f'(x_0)$. Se nos dice que en $x=2$ la pendiente es $1$, por lo tanto $f'(2) = 1$.
Sustituimos en la expresión de la primera derivada:
$$f'(2) = 3a(2)^2 + 2b(2) + c = 1$$
$$12a + 4(0) + c = 1 \implies 12a + c = 1$$
Como ya sabíamos que $c = -3a$, sustituimos este valor en la ecuación:
$$12a + (-3a) = 1$$
$$9a = 1 \implies \mathbf{a = \frac{1}{9}}$$
Ahora calculamos $c$:
$$c = -3 \cdot \left(\frac{1}{9}\right) \implies \mathbf{c = -\frac{1}{3}}$$
Paso 5
Resumen de resultados y comprobación
Hemos obtenido los valores de los parámetros resolviendo el sistema de ecuaciones planteado:
$$\boxed{a = \frac{1}{9}, \quad b = 0, \quad c = -\frac{1}{3}, \quad d = 1}$$
La función es: **$f(x) = \frac{1}{9}x^3 - \frac{1}{3}x + 1$**.
**Comprobación del mínimo:**
Para que sea un mínimo en $x=1$, $f''(1)$ debe ser positivo:
$$f''(x) = 6 \cdot \left(\frac{1}{9}\right)x = \frac{2}{3}x$$
$$f''(1) = \frac{2}{3} \cdot 1 = \frac{2}{3} > 0$$
Efectivamente, se trata de un mínimo local.
**Comprobación del punto de inflexión:**
En $x=0$, $f''(0) = 0$ y existe un cambio de signo en la curvatura (ya que $f''(x)$ es una recta que atraviesa el origen), por lo que es un punto de inflexión.