Optimización del área de un trapecio rectangular

**Hallar, razonadamente, el ángulo $\alpha$ que debe formar el lado oblicuo con la base mayor para que el área de la ventana sea máxima.** Primero, dibujamos el trapecio rectangular y definimos las variables en función del ángulo $\alpha$ (ángulo entre el lado oblicuo y la base mayor): - Base menor ($b$): $20\text{ cm}$. - Lado oblicuo ($c$): $40\text{ cm}$. - Altura ($h$): Es el cateto opuesto al ángulo $\alpha$ en el triángulo rectángulo que se forma al proyectar el lado oblicuo. Por trigonometría: $h = 40\sin(\alpha)$. - Segmento adicional de la base mayor ($x$): Es el cateto contiguo al ángulo $\alpha$. Por trigonometría: $x = 40\cos(\alpha)$. - Base mayor ($B$): Es la suma de la base menor y el segmento proyectado: $B = 20 + 40\cos(\alpha)$. El dominio físico del ángulo es $\alpha \in (0, \pi/2)$, ya que para que sea un trapecio rectangular con esas medidas, el ángulo debe ser agudo. 💡 **Tip:** En un trapecio rectangular, el área se calcula como $A = \frac{B+b}{2} \cdot h$.

Sustituimos las expresiones de $B$, $b$ y $h$ en la fórmula del área: $$A(\alpha) = \frac{(20 + 40\cos\alpha) + 20}{2} \cdot 40\sin\alpha$$ Simplificamos la expresión: $$A(\alpha) = \frac{40 + 40\cos\alpha}{2} \cdot 40\sin\alpha$$ $$A(\alpha) = (20 + 20\cos\alpha) \cdot 40\sin\alpha$$ $$A(\alpha) = 800\sin\alpha(1 + \cos\alpha)$$ Para facilitar la derivación, podemos distribuir: $$A(\alpha) = 800\sin\alpha + 800\sin\alpha\cos\alpha$$ O usar la identidad del ángulo doble $\sin\alpha\cos\alpha = \frac{1}{2}\sin(2\alpha)$: $$A(\alpha) = 800\sin\alpha + 400\sin(2\alpha)$$

Para maximizar el área, calculamos la derivada $A'(\alpha)$ e igualamos a cero: $$A'(\alpha) = 800\cos\alpha + 400 \cdot 2\cos(2\alpha)$$ $$A'(\alpha) = 800\cos\alpha + 800\cos(2\alpha)$$ Igualamos a cero: $$800(\cos\alpha + \cos(2\alpha)) = 0 \implies \cos\alpha + \cos(2\alpha) = 0$$ Usamos la identidad trigonométrica $\cos(2\alpha) = 2\cos^2\alpha - 1$: $$2\cos^2\alpha + \cos\alpha - 1 = 0$$ Resolvemos la ecuación de segundo grado para $u = \cos\alpha$: $$u = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(2)(-1)}}{2(2)} = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{4} = \frac{-1 \pm 3}{4}$$ Esto nos da dos posibles soluciones para $\cos\alpha$: 1. $\cos\alpha = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \implies \alpha = \arccos(1/2) = 60^\circ = \frac{\pi}{3} \text{ rad}$ 2. $\cos\alpha = \frac{-4}{4} = -1 \implies \alpha = \arccos(-1) = 180^\circ = \pi \text{ rad}$ (No válida en nuestro dominio) El único punto crítico en $(0, \pi/2)$ es **$\alpha = \pi/3$**.

Estudiamos el signo de la primera derivada $A'(\alpha)$ alrededor de $\alpha = \pi/3$ para confirmar que es un máximo relativo: $$\begin{array}{c|ccc} \alpha & (0, \pi/3) & \pi/3 & (\pi/3, \pi/2) \\\hline A'(\alpha) & + & 0 & - \\ \text{Crecimiento} & \nearrow & \text{Máximo} & \searrow \end{array}$$ - Si $\alpha = \pi/6$ ($30^\circ$): $A'(\pi/6) = 800(\cos 30^\circ + \cos 60^\circ) = 800(\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}) > 0$. - Si $\alpha = 5\pi/12$ ($75^\circ$): El valor de la derivada se vuelve negativo al acercarse a $\pi/2$ (por ejemplo, $\cos 150^\circ$ es negativo y domina). Por tanto, el área es máxima cuando el ángulo es: $$\boxed{\alpha = 60^\circ = \frac{\pi}{3} \text{ rad}}$$ "interactive": { "kind": "desmos", "data": { "expressions": [ { "id": "f", "latex": "A(x) = 800\\sin(x)(1+\\cos(x))", "color": "#2563eb" }, { "id": "p", "latex": "(1.047, 1039.23)", "color": "#ef4444", "label": "Máximo (π/3, 600√3)" } ], "bounds": { "left": -0.2, "right": 1.7, "bottom": -100, "top": 1200 } } }

**Calcular este área máxima.** Sustituimos $\alpha = 60^\circ$ en la función del área $A(\alpha)$: Sabemos que $\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ y $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$. $$A(60^\circ) = 800 \cdot \sin(60^\circ) \cdot (1 + \cos(60^\circ))$$ $$A(60^\circ) = 800 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \left(1 + \frac{1}{2}\right)$$ $$A(60^\circ) = 400\sqrt{3} \cdot \frac{3}{2}$$ $$A(60^\circ) = 200\sqrt{3} \cdot 3 = 600\sqrt{3} \text{ cm}^2$$ Calculando el valor decimal aproximado: $$A_{max} \approx 600 \cdot 1,732 = 1039,23 \text{ cm}^2$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{A_{max} = 600\sqrt{3} \text{ cm}^2 \approx 1039,23 \text{ cm}^2}$$