Optimización de las dimensiones de una hoja de papel

Para resolver este problema de optimización, primero debemos identificar las variables que definen las dimensiones de la hoja y el área del texto. Llamamos: - $x$: anchura del texto impreso (en $\text{cm}$). - $y$: altura del texto impreso (en $\text{cm}$). Según el enunciado, el área del texto es constante: $$x \cdot y = 18 \implies y = \frac{18}{x}$$ Ahora determinamos las dimensiones totales de la hoja rectangular considerando los márgenes: - Anchura total de la hoja: $A = x + 1 + 1 = x + 2$. - Altura total de la hoja: $H = y + 2 + 2 = y + 4$. La función que queremos minimizar es el consumo de papel, es decir, el **área total de la hoja** $S$: $$S(x, y) = (x + 2)(y + 4)$$ 💡 **Tip:** En problemas de optimización, siempre identifica la restricción (área del texto) y la función objetivo (área de la hoja) antes de empezar a derivar.

Sustituimos la relación $y = \dfrac{18}{x}$ en la función del área total para trabajar con una sola variable: $$S(x) = (x + 2)\left(\frac{18}{x} + 4\right)$$ Expandimos la expresión para facilitar la derivación: $$S(x) = x \cdot \frac{18}{x} + 4x + \frac{36}{x} + 8$$ $$S(x) = 18 + 4x + \frac{36}{x} + 8$$ $$S(x) = 26 + 4x + \frac{36}{x}$$ El dominio de esta función es $x \gt 0$, ya que $x$ representa una longitud física. $$\boxed{S(x) = 4x + \frac{36}{x} + 26}$$

Para encontrar el mínimo, calculamos la primera derivada de $S(x)$ e igualamos a cero: $$S'(x) = 4 - \frac{36}{x^2}$$ Resolvemos la ecuación $S'(x) = 0$: $$4 - \frac{36}{x^2} = 0 \implies 4 = \frac{36}{x^2} \implies 4x^2 = 36$$ $$x^2 = 9 \implies x = \pm 3$$ Como $x$ debe ser positivo ($x \in (0, +\infty)$), tomamos únicamente el valor: $$x = 3 \text{ cm}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la derivada de $\frac{k}{x}$ es $-\frac{k}{x^2}$. Esto agiliza mucho los cálculos en funciones racionales sencillas.

Para asegurar que en $x = 3$ existe un mínimo, podemos utilizar la segunda derivada $S''(x)$: $$S''(x) = \left(4 - 36x^{-2}\right)' = 0 - 36(-2)x^{-3} = \frac{72}{x^3}$$ Evaluamos en el punto crítico: $$S''(3) = \frac{72}{3^3} = \frac{72}{27} \gt 0$$ Al ser la segunda derivada positiva, confirmamos que existe un **mínimo relativo** en $x = 3$. Ahora calculamos las dimensiones de la hoja: - **Anchura de la hoja:** $A = x + 2 = 3 + 2 = 5 \text{ cm}$. - **Altura de la hoja:** Necesitamos primero $y = \frac{18}{x} = \frac{18}{3} = 6 \text{ cm}$. Entonces, $H = y + 4 = 6 + 4 = 10 \text{ cm}$. ✅ **Resultado final:** Las dimensiones de la hoja para que el consumo de papel sea mínimo son **$5 \text{ cm}$ de ancho por $10 \text{ cm}$ de alto**. $$\boxed{\text{Dimensiones: } 5 \text{ cm} \times 10 \text{ cm}}$$