Estudio de una función logarítmica compuesta

**a) La gráfica de la curva $y = f(x)$. (0,7 puntos).** La función $f(x) = x^2 - 4$ es una función polinómica de segundo grado, por lo que su representación gráfica es una **parábola**. 1. **Vértice:** El eje de simetría se encuentra en $x = \frac{-b}{2a}$. Al no tener término en $x$ ($b=0$), el vértice está en $x = 0$. $$f(0) = 0^2 - 4 = -4 \implies V(0, -4)$$ 2. **Puntos de corte con el eje $X$ ($y=0$):** $$x^2 - 4 = 0 \implies x^2 = 4 \implies x = \pm 2$$ Los puntos de corte son $(-2, 0)$ y $(2, 0)$. 3. **Punto de corte con el eje $Y$ ($x=0$):** Coincide con el vértice: $(0, -4)$. 4. **Curvatura:** Como el coeficiente principal ($a=1$) es positivo, la parábola es convexa (abierta hacia arriba). 💡 **Tip:** Recuerda que una parábola $y=ax^2+bx+c$ siempre es simétrica respecto a su vértice. $$\boxed{\text{Gráfica de } f(x) \text{ con vértice en } (0,-4) \text{ y cortes en } (-2,0), (2,0)}$$

**b) Los valores de $x$ para los que está definida la función real $g(x) = \ln(f(x))$. (1,3 puntos).** La función logaritmo neperiano $g(x) = \ln(x^2 - 4)$ solo está definida cuando su argumento es estrictamente positivo. Por tanto, debemos resolver la inecuación: $$x^2 - 4 \gt 0$$ Factorizamos la expresión utilizando la diferencia de cuadrados: $$(x - 2)(x + 2) \gt 0$$ Los puntos críticos que dividen la recta real son $x = -2$ y $x = 2$. Analizamos el signo de $f(x) = x^2 - 4$ en los intervalos resultantes: - Para $x \in (-\infty, -2)$: Tomamos $x = -3 \implies (-3)^2 - 4 = 5 \gt 0$ (Válido). - Para $x \in (-2, 2)$: Tomamos $x = 0 \implies 0^2 - 4 = -4 \lt 0$ (No válido). - Para $x \in (2, +\infty)$: Tomamos $x = 3 \implies 3^2 - 4 = 5 \gt 0$ (Válido). 💡 **Tip:** El dominio de $\ln(u(x))$ es el conjunto de puntos donde $u(x) > 0$. No incluyas los puntos donde $u(x)=0$ porque el logaritmo de cero no existe. ✅ **Resultado (Dominio):** $$\boxed{D_g = (-\infty, -2) \cup (2, +\infty)}$$

**c) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función $g(x)$, razonando si tiene, o no, máximo absoluto. (1,3 puntos).** Para estudiar el crecimiento, calculamos la primera derivada de $g(x) = \ln(x^2 - 4)$. Aplicamos la regla de la cadena: $$g'(x) = \frac{f'(x)}{f(x)} = \frac{2x}{x^2 - 4}$$ Igualamos a cero para buscar puntos críticos: $$g'(x) = 0 \implies 2x = 0 \implies x = 0$$ Sin embargo, **$x = 0$ no pertenece al dominio** de $g(x)$ ($D_g = (-\infty, -2) \cup (2, +\infty)$), por lo que no hay extremos relativos en el dominio. Analizamos el signo de $g'(x)$ en los intervalos de definición: $$\begin{array}{c|ccc} x & (-\infty, -2) & (-2, 2) & (2, +\infty) \\ \hline 2x & - & \text{No dom.} & + \\ x^2 - 4 & + & \text{No dom.} & + \\ \hline g'(x) & - & \text{No dom.} & + \end{array}$$ - En $(-\infty, -2)$, $g'(x) \lt 0 \implies$ la función es **decreciente**. - En $(2, +\infty)$, $g'(x) \gt 0 \implies$ la función es **creciente**. ✅ **Resultado (Monotonía):** $$\boxed{\text{Decreciente en } (-\infty, -2) \text{ y creciente en } (2, +\infty)}$$

Para determinar si existe un máximo absoluto, analizamos el comportamiento de la función en los extremos de su dominio. Calculamos los límites cuando $x \to \pm\infty$: $$\lim_{x \to +\infty} \ln(x^2 - 4) = \ln(+\infty) = +\infty$$ $$\lim_{x \to -\infty} \ln(x^2 - 4) = \ln(+\infty) = +\infty$$ Como el valor de la función tiende a $+\infty$ cuando $x$ crece o decrece indefinidamente, la función no está acotada superiormente. 💡 **Tip:** Una función que tiende a $+\infty$ en algún punto o dirección de su dominio no puede tener máximo absoluto. ✅ **Resultado (Máximo absoluto):** $$\boxed{\text{No tiene máximo absoluto porque } \lim_{x \to \pm\infty} g(x) = +\infty}$$