Área de una región y división mediante un parámetro

**a) Calcular razonadamente el área de la región $R$. (1,5 puntos).** La región $R$ se encuentra en el primer cuadrante y está limitada por las rectas verticales $x=0$ (eje $Y$) y $x=2$, el eje $X$ ($y=0$) y la función $f(x) = \dfrac{1}{4+x^2}$. Como la función $f(x)$ es siempre positiva en el intervalo $[0, 2]$, el área se calcula directamente mediante la integral definida: $$Area(R) = \int_{0}^{2} \frac{1}{4+x^2} \, dx$$ 💡 **Tip:** Recuerda que si una función es positiva, el área entre la curva y el eje $X$ coincide con el valor de la integral definida.

Para resolver la integral $\int \frac{1}{4+x^2} \, dx$, observamos que tiene forma de arcotangente. Debemos transformar el denominador para que aparezca un $1$: $$\int \frac{1}{4+x^2} \, dx = \int \frac{1}{4\left(1 + \frac{x^2}{4}\right)} \, dx = \frac{1}{4} \int \frac{1}{1 + \left(\frac{x}{2}\right)^2} \, dx$$ Hacemos el ajuste para tener la derivada de la función interna ($x/2$), que es $1/2$: $$\frac{1}{4} \cdot 2 \int \frac{1/2}{1 + \left(\frac{x}{2}\right)^2} \, dx = \frac{1}{2} \arctan\left(\frac{x}{2}\right) + C$$ 💡 **Tip:** La fórmula general es $\int \frac{1}{a^2 + x^2} \, dx = \frac{1}{a} \arctan\left(\frac{x}{a}\right) + C$. En este caso $a=2$.

Aplicamos la Regla de Barrow evaluando en los límites de integración $0$ y $2$: $$Area(R) = \left[ \frac{1}{2} \arctan\left(\frac{x}{2}\right) \right]_{0}^{2}$$ $$Area(R) = \frac{1}{2} \arctan\left(\frac{2}{2}\right) - \frac{1}{2} \arctan\left(\frac{0}{2}\right)$$ $$Area(R) = \frac{1}{2} \arctan(1) - \frac{1}{2} \arctan(0)$$ Como $\arctan(1) = \frac{\pi}{4}$ y $\arctan(0) = 0$: $$Area(R) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{4} - 0 = \frac{\pi}{8}$$ ✅ **Resultado (Área de R):** $$\boxed{Area(R) = \frac{\pi}{8} \text{ u}^2}$$

**b) Encontrar el valor de $\alpha$ para que la recta $x = \alpha$ divida la región $R$ en dos partes $A$ (izquierda) y $B$ (derecha) tales que el área de $A$ sea el doble que la de $B$. (1,8 puntos).** Sea $S_A$ el área de la parte izquierda (desde $x=0$ hasta $x=\alpha$) y $S_B$ el área de la parte derecha (desde $x=\alpha$ hasta $x=2$). Se nos indica que $S_A = 2 S_B$. Además, sabemos que la suma de ambas es el área total: $$S_A + S_B = Area(R) = \frac{\pi}{8}$$ Sustituimos $S_A$: $$2 S_B + S_B = \frac{\pi}{8} \implies 3 S_B = \frac{\pi}{8} \implies S_B = \frac{\pi}{24}$$ Por lo tanto, el área $A$ debe ser: $$S_A = 2 \cdot \frac{\pi}{24} = \frac{\pi}{12}$$ 💡 **Tip:** Es más sencillo trabajar con el área $A$ ya que su límite inferior es $0$.

Planteamos la integral para el área $A$: $$S_A = \int_{0}^{\alpha} \frac{1}{4+x^2} \, dx = \frac{\pi}{12}$$ Utilizamos la primitiva hallada anteriormente: $$\left[ \frac{1}{2} \arctan\left(\frac{x}{2}\right) \right]_{0}^{\alpha} = \frac{\pi}{12}$$ $$\frac{1}{2} \arctan\left(\frac{\alpha}{2}\right) - \frac{1}{2} \arctan(0) = \frac{\pi}{12}$$ $$\frac{1}{2} \arctan\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{\pi}{12}$$ Multiplicamos por $2$ en ambos lados: $$\arctan\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{\pi}{6}$$ Despejamos aplicando la función tangente: $$\frac{\alpha}{2} = \tan\left(\frac{\pi}{6}\right)$$ Sabemos que $\tan(\pi/6) = \frac{\sqrt{3}}{3}$: $$\frac{\alpha}{2} = \frac{\sqrt{3}}{3} \implies \alpha = \frac{2\sqrt{3}}{3}$$ Como $\frac{2\sqrt{3}}{3} \approx 1,155$, el valor se encuentra dentro del intervalo $(0, 2)$. ✅ **Resultado (Valor de alfa):** $$\boxed{\alpha = \frac{2\sqrt{3}}{3}}$$