Posición relativa y distancia entre rectas en el espacio

**a) Obtener, razonadamente, ecuaciones paramétricas de $r$ y $s$. (1,1 puntos).** La recta $r$ viene dada como intersección de dos planos (forma implícita): $$r: \begin{cases} y + z = 0 \\ x - 2y - 1 = 0 \end{cases}$$ Para obtener las ecuaciones paramétricas, expresamos dos de las variables en función de una tercera que hará de parámetro $\lambda$. 1. De la primera ecuación: $z = -y$. 2. De la segunda ecuación: $x = 1 + 2y$. Si llamamos $y = \lambda$, obtenemos las ecuaciones paramétricas de $r$: $$r: \begin{cases} x = 1 + 2\lambda \\ y = \lambda \\ z = -\lambda \end{cases}$$ De aquí extraemos un punto $P_r$ y un vector director $\vec{v}_r$: $$P_r = (1, 0, 0); \quad \vec{v}_r = (2, 1, -1)$$ 💡 **Tip:** Para pasar de implícitas a paramétricas, basta con resolver el sistema dejando las variables en función de un parámetro. También podrías obtener el vector director mediante el producto vectorial de los normales de los planos.

La recta $s$ se presenta en su forma continua: $$s: \frac{x}{2} = y - 1 = -z + 3$$ Para facilitar la lectura, reescribimos el término de $z$ para que el coeficiente de la variable sea $1$: $$s: \frac{x}{2} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z - 3}{-1}$$ Igualando cada fracción a un parámetro $\mu$, obtenemos: - $x/2 = \mu \implies x = 2\mu$ - $y - 1 = \mu \implies y = 1 + \mu$ - $z - 3 = -\mu \implies z = 3 - \mu$ Las ecuaciones paramétricas de $s$ son: $$s: \begin{cases} x = 2\mu \\ y = 1 + \mu \\ z = 3 - \mu \end{cases}$$ De aquí extraemos un punto $P_s$ y su vector director $\vec{v}_s$: $$P_s = (0, 1, 3); \quad \vec{v}_s = (2, 1, -1)$$ ✅ **Resultado apartado a):** $$\boxed{r: \begin{cases} x = 1 + 2\lambda \\ y = \lambda \\ z = -\lambda \end{cases} \quad s: \begin{cases} x = 2\mu \\ y = 1 + \mu \\ z = 3 - \mu \end{cases}}$$

**b) Explicar de un modo razonado cuál es la posición relativa de las rectas $r$ y $s$. (1,1 puntos).** Primero comparamos los vectores directores de ambas rectas: $$\vec{v}_r = (2, 1, -1)$$ $$\vec{v}_s = (2, 1, -1)$$ Observamos que $\vec{v}_r = \vec{v}_s$, por lo que los vectores son proporcionales (en este caso iguales). Esto implica que las rectas son **paralelas o coincidentes**. 💡 **Tip:** Dos rectas son paralelas si sus vectores directores son proporcionales. Si además comparten al menos un punto, son coincidentes.

Para distinguir si son paralelas o coincidentes, comprobamos si el punto $P_r(1, 0, 0)$ de la recta $r$ pertenece a la recta $s$. Sustituimos las coordenadas de $P_r$ en la ecuación continua de $s$: $$\frac{1}{2} = 0 - 1 = -0 + 3 \implies \frac{1}{2} = -1 = 3$$ Como la igualdad no se cumple en ningún término ($0.5 \neq -1$ y $-1 \neq 3$), el punto $P_r$ no pertenece a $s$. Por tanto, al tener vectores directores iguales pero no compartir puntos, las rectas son **paralelas estrictas**. ✅ **Resultado apartado b):** $$\boxed{\text{Las rectas } r \text{ e } s \text{ son paralelas.}}$$

**c) Calcular la distancia entre las rectas $r$ y $s$. (1,1 puntos).** Dado que las rectas son paralelas, la distancia entre ellas coincide con la distancia de un punto cualquiera de una de las rectas (por ejemplo, $P_r$) a la otra recta ($s$). La fórmula para la distancia de un punto $P$ a una recta con punto $A$ y vector director $\vec{v}$ es: $$d(r, s) = d(P_r, s) = \frac{|\vec{P_s P_r} \times \vec{v}_s|}{|\vec{v}_s|}$$ Calculamos los elementos necesarios: - $P_r = (1, 0, 0)$ - $P_s = (0, 1, 3)$ - $\vec{P_s P_r} = (1 - 0, 0 - 1, 0 - 3) = (1, -1, -3)$ - $\vec{v}_s = (2, 1, -1)$

Calculamos el producto vectorial $\vec{P_s P_r} \times \vec{v}_s$ mediante el determinante: $$\vec{P_s P_r} \times \vec{v}_s = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & -1 & -3 \\ 2 & 1 & -1 \end{vmatrix}$$ Desarrollamos por Sarrus: $$= \mathbf{i}((-1)(-1) - (-3)(1)) - \mathbf{j}((1)(-1) - (-3)(2)) + \mathbf{k}((1)(1) - (-1)(2))$$ $$= \mathbf{i}(1 + 3) - \mathbf{j}(-1 + 6) + \mathbf{k}(1 + 2) = (4, -5, 3)$$ Ahora calculamos los módulos: 1. Módulo del producto vectorial: $$|\vec{P_s P_r} \times \vec{v}_s| = \sqrt{4^2 + (-5)^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 25 + 9} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$$ 2. Módulo del vector director $\vec{v}_s$: $$|\vec{v}_s| = \sqrt{2^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 1 + 1} = \sqrt{6}$$ 💡 **Tip:** El producto vectorial produce un vector perpendicular a ambos. Su módulo representa el área del paralelogramo formado por los vectores.

Sustituimos en la fórmula de la distancia: $$d(r, s) = \frac{\sqrt{50}}{\sqrt{6}} = \sqrt{\frac{50}{6}} = \sqrt{\frac{25}{3}} = \frac{5}{\sqrt{3}}$$ Racionalizando el resultado: $$d(r, s) = \frac{5\sqrt{3}}{3} \text{ unidades de longitud}$$ Operando aproximadamente: $$d(r, s) \approx 2.887 \text{ u.}$$ ✅ **Resultado apartado c):** $$\boxed{d(r, s) = \frac{5\sqrt{3}}{3} \text{ u.}}$$