Puntos equidistantes y área de un triángulo en el espacio

**a) El punto $C$ de $r$ que equidista de $A$ y $B$. (2 puntos).** Para trabajar con un punto genérico de la recta $r$, primero debemos obtener sus ecuaciones paramétricas. A partir de la ecuación continua: $$r: \frac{x - 5}{1} = \frac{y - 0}{1} = \frac{z + 2}{-2}$$ Identificamos un punto de la recta $P_r = (5, 0, -2)$ y su vector director $\vec{v}_r = (1, 1, -2)$. Igualando a un parámetro $\lambda$, obtenemos las ecuaciones paramétricas: $$r: \begin{cases} x = 5 + \lambda \\ y = \lambda \\ z = -2 - 2\lambda \end{cases}$$ 💡 **Tip:** Cualquier punto $C$ que pertenezca a la recta $r$ tendrá la forma $C(5 + \lambda, \lambda, -2 - 2\lambda)$ para algún valor real de $\lambda$.

La condición de que el punto $C$ equidiste de $A$ y $B$ significa que la distancia de $A$ a $C$ debe ser igual a la distancia de $B$ a $C$: $$d(A, C) = d(B, C) \implies |\vec{AC}| = |\vec{BC}|$$ Para evitar raíces cuadradas, elevamos al cuadrado: $$|\vec{AC}|^2 = |\vec{BC}|^2$$ Calculamos los vectores $\vec{AC}$ y $\vec{BC}$ en función de $\lambda$: $$\vec{AC} = C - A = (5 + \lambda - 2, \lambda - 1, -2 - 2\lambda - 1) = (3 + \lambda, \lambda - 1, -3 - 2\lambda)$$ $$\vec{BC} = C - B = (5 + \lambda - 1, \lambda - 0, -2 - 2\lambda - (-1)) = (4 + \lambda, \lambda, -1 - 2\lambda)$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el módulo de un vector $(x, y, z)$ es $\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$.

Planteamos la igualdad de los módulos al cuadrado: $$(3 + \lambda)^2 + (\lambda - 1)^2 + (-3 - 2\lambda)^2 = (4 + \lambda)^2 + \lambda^2 + (-1 - 2\lambda)^2$$ Desarrollamos los productos notables: $$(9 + 6\lambda + \lambda^2) + (\lambda^2 - 2\lambda + 1) + (9 + 12\lambda + 4\lambda^2) = (16 + 8\lambda + \lambda^2) + \lambda^2 + (1 + 4\lambda + 4\lambda^2)$$ Agrupamos términos semejantes en ambos lados: $$6\lambda^2 + 16\lambda + 19 = 6\lambda^2 + 12\lambda + 17$$ Simplificamos y despejamos $\lambda$: $$16\lambda - 12\lambda = 17 - 19$$ $$4\lambda = -2 \implies \lambda = -\frac{1}{2}$$ Sustituimos $\lambda = -1/2$ en las coordenadas de $C$: $$x = 5 - \frac{1}{2} = \frac{9}{2}; \quad y = -\frac{1}{2}; \quad z = -2 - 2\left(-\frac{1}{2}\right) = -2 + 1 = -1$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{C = \left(\frac{9}{2}, -\frac{1}{2}, -1\right)}$$

**b) El área del triangulo $ABC$. (1,3 puntos).** El área de un triángulo definido por tres puntos $A$, $B$ y $C$ viene dada por la mitad del módulo del producto vectorial de dos de sus vectores de posición relativos: $$\text{Área} = \frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AC}|$$ Calculamos los vectores: $$\vec{AB} = B - A = (1 - 2, 0 - 1, -1 - 1) = (-1, -1, -2)$$ Utilizando $\lambda = -1/2$ en la expresión de $\vec{AC}$ del apartado anterior: $$\vec{AC} = \left(3 - \frac{1}{2}, -\frac{1}{2} - 1, -3 - 2\left(-\frac{1}{2}\right)\right) = \left(\frac{5}{2}, -\frac{3}{2}, -2\right)$$ 💡 **Tip:** El producto vectorial es perpendicular a los dos vectores originales y su módulo representa el área del paralelogramo que forman.

Calculamos el producto vectorial $\vec{w} = \vec{AB} \times \vec{AC}$ mediante el determinante: $$\vec{w} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -1 & -1 & -2 \\ 5/2 & -3/2 & -2 \end{vmatrix}$$ Desarrollamos por Sarrus: $$\vec{w} = \vec{i} \cdot (-1) \cdot (-2) + \vec{j} \cdot (-2) \cdot \frac{5}{2} + \vec{k} \cdot (-1) \cdot \left(-\frac{3}{2}\right) - \left[ \vec{k} \cdot (-1) \cdot \frac{5}{2} + \vec{i} \cdot (-2) \cdot \left(-\frac{3}{2}\right) + \vec{j} \cdot (-1) \cdot (-2) \right]$$ $$\vec{w} = 2\vec{i} - 5\vec{j} + \frac{3}{2}\vec{k} - \left( -\frac{5}{2}\vec{k} + 3\vec{i} + 2\vec{j} \right)$$ $$\vec{w} = (2 - 3)\vec{i} + (-5 - 2)\vec{j} + \left(\frac{3}{2} + \frac{5}{2}\right)\vec{k} = -1\vec{i} - 7\vec{j} + 4\vec{k}$$ Por tanto: $$\vec{AB} \times \vec{AC} = (-1, -7, 4)$$

Calculamos el módulo del vector resultante: $$|\vec{AB} \times \vec{AC}| = \sqrt{(-1)^2 + (-7)^2 + 4^2} = \sqrt{1 + 49 + 16} = \sqrt{66}$$ Aplicamos la fórmula del área: $$\text{Área} = \frac{\sqrt{66}}{2} \approx 4,06 \text{ unidades cuadradas}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Área} = \frac{\sqrt{66}}{2} \text{ u}^2}$$ 💡 **Tip:** No olvides indicar las unidades cuadradas ($u^2$) si el ejercicio no especifica un sistema métrico concreto (metros, cm, etc.).