Potencias de matrices y combinaciones lineales

**a) Las matrices $A^2$ y $A^3$. (1,5 puntos).** Para calcular $A^2$, realizamos el producto de la matriz $A$ por sí misma: $A^2 = A \cdot A$. $$A^2 = \begin{pmatrix} 17 & 29 \\ -10 & -17 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 17 & 29 \\ -10 & -17 \end{pmatrix}$$ Calculamos cada elemento de la matriz resultante: - $c_{11} = 17 \cdot 17 + 29 \cdot (-10) = 289 - 290 = -1$ - $c_{12} = 17 \cdot 29 + 29 \cdot (-17) = 493 - 493 = 0$ - $c_{21} = -10 \cdot 17 + (-17) \cdot (-10) = -170 + 170 = 0$ - $c_{22} = -10 \cdot 29 + (-17) \cdot (-17) = -290 + 289 = -1$ Obtenemos: $$A^2 = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} = -I$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el producto de matrices se realiza multiplicando filas por columnas. Si el resultado es una matriz diagonal con el mismo elemento, se puede expresar en función de la identidad $I$. $$\boxed{A^2 = -I = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}}$$

Para calcular $A^3$, utilizamos el resultado anterior: $A^3 = A^2 \cdot A$. Como hemos visto que $A^2 = -I$, entonces: $$A^3 = (-I) \cdot A = -A$$ Sustituyendo los valores de $A$: $$A^3 = -\begin{pmatrix} 17 & 29 \\ -10 & -17 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -17 & -29 \\ 10 & 17 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Aprovechar propiedades como $A^2 = -I$ simplifica enormemente los cálculos de potencias superiores, ya que la matriz identidad actúa como el elemento neutro del producto. $$\boxed{A^3 = \begin{pmatrix} -17 & -29 \\ 10 & 17 \end{pmatrix}}$$

**b) Los números reales $\alpha$ y $\beta$ para los que se verifica $(I + A)^3 = \alpha I + \beta A$. (1,8 puntos).** Dado que las matrices $I$ y $A$ conmutan (es decir, $I \cdot A = A \cdot I = A$), podemos aplicar la fórmula del binomio de Newton para desarrollar la potencia del binomio: $$(I + A)^3 = I^3 + 3 I^2 A + 3 I A^2 + A^3$$ Como $I^n = I$ para cualquier potencia, simplificamos la expresión: $$(I + A)^3 = I + 3A + 3A^2 + A^3$$ 💡 **Tip:** Solo puedes usar el binomio de Newton con matrices si estas conmutan. En este caso, al ser una de ellas la identidad $I$, la conmutatividad está garantizada.

Sustituimos los resultados obtenidos en el apartado (a), $A^2 = -I$ y $A^3 = -A$, en la expresión desarrollada: $$(I + A)^3 = I + 3A + 3(-I) + (-A)$$ Agrupamos los términos con $I$ y los términos con $A$: $$(I + A)^3 = I - 3I + 3A - A$$ $$(I + A)^3 = (1 - 3)I + (3 - 1)A$$ $$(I + A)^3 = -2I + 2A$$ Comparando con la expresión del enunciado $(I + A)^3 = \alpha I + \beta A$, identificamos los coeficientes: $$\alpha = -2$$ $$\beta = 2$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\alpha = -2, \quad \beta = 2}$$