Discusión y resolución de un sistema con parámetros

**a) Determinar, razonadamente, los valores de $\alpha$ para los que el sistema es compatible determinado, compatible indeterminado e incompatible. (1,3 puntos).** En primer lugar, escribimos el sistema en forma matricial $A \cdot X = B$, donde $A$ es la matriz de coeficientes y $A^*$ es la matriz ampliada: $$A = \begin{pmatrix} \alpha & 1 & 1 \\ 1 & \alpha & 1 \\ 1 & 1 & \alpha \end{pmatrix}; \quad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} \alpha & 1 & 1 & 1 \\ 1 & \alpha & 1 & 1 \\ 1 & 1 & \alpha & 1 \end{array}\right)$$ Para discutir el sistema según el Teorema de Rouché-Frobenius, calculamos el determinante de la matriz $A$ para saber cuándo su rango es máximo. 💡 **Tip:** El sistema será Compatible Determinado si el determinante de la matriz de coeficientes es distinto de cero.

Calculamos el determinante de $A$ aplicando la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} \alpha & 1 & 1 \\ 1 & \alpha & 1 \\ 1 & 1 & \alpha \end{vmatrix} = \alpha^3 + 1 + 1 - (\alpha + \alpha + \alpha) = \alpha^3 - 3\alpha + 2$$ Igualamos el determinante a cero para encontrar los valores críticos de $\alpha$: $$\alpha^3 - 3\alpha + 2 = 0$$ Probamos con divisores de 2 para encontrar raíces (Ruffini). Para $\alpha = 1$: $$1^3 - 3(1) + 2 = 1 - 3 + 2 = 0$$ Dividiendo por $(\alpha - 1)$ obtenemos la ecuación de segundo grado $\alpha^2 + \alpha - 2 = 0$, cuyas soluciones son $\alpha = 1$ y $\alpha = -2$. Por tanto, el determinante factorizado es: $$|A| = (\alpha - 1)^2(\alpha + 2)$$ Los valores que anulan el determinante son **$\alpha = 1$** y **$\alpha = -2$**. $$\boxed{|A| = 0 \iff \alpha = 1, \alpha = -2}$$

Aplicamos el **Teorema de Rouché-Frobenius** para analizar cada caso: **Caso 1: $\alpha \neq 1$ y $\alpha \neq -2$** En este caso $|A| \neq 0$, por lo que $\text{rango}(A) = 3$. Como el número de incógnitas es 3, el sistema es **Compatible Determinado (SCD)**. **Caso 2: $\alpha = 1$** La matriz ampliada queda: $$A^* = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$$ Como todas las filas son iguales, el $\text{rango}(A) = 1$ y el $\text{rango}(A^*) = 1$. Al ser $\text{rango} \lt n^{\circ} \text{incógnitas} (1 \lt 3)$, el sistema es **Compatible Indeterminado (SCI)**. **Caso 3: $\alpha = -2$** La matriz ampliada queda: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} -2 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -2 & 1 \end{array}\right)$$ Sabemos que $|A| = 0$, por lo que $\text{rango}(A) \lt 3$. Un menor de orden 2 es $\begin{vmatrix} -2 & 1 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} = 4 - 1 = 3 \neq 0$, luego $\text{rango}(A) = 2$. Comprobamos el rango de $A^*$ con el término independiente: $$\begin{vmatrix} -2 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = (4 + 1 + 1) - (-2 - 2 + 1) = 6 - (-3) = 9 \neq 0$$ Como $\text{rango}(A) = 2$ y $\text{rango}(A^*) = 3$, el sistema es **Incompatible (SI)**. ✅ **Resultado (Discusión):** $$\boxed{\begin{cases} \alpha \in \mathbb{R} \setminus \{1, -2\} & \text{SCD} \\ \alpha = 1 & \text{SCI} \\ \alpha = -2 & \text{SI} \end{cases}}$$

**b) Resolver el sistema cuando es compatible determinado. (1,3 puntos).** Para el caso SCD ($\alpha \neq 1, -2$), usamos la **Regla de Cramer**: Sabemos que $|A| = (\alpha - 1)^2(\alpha + 2)$. Calculamos el determinante de la incógnita $x$: $$\Delta_x = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & \alpha & 1 \\ 1 & 1 & \alpha \end{vmatrix} = (\alpha^2 + 1 + 1) - (\alpha + 1 + \alpha) = \alpha^2 - 2\alpha + 1 = (\alpha - 1)^2$$ Calculamos $x$: $$x = \frac{\Delta_x}{|A|} = \frac{(\alpha - 1)^2}{(\alpha - 1)^2(\alpha + 2)} = \frac{1}{\alpha + 2}$$ Dada la simetría del sistema (si intercambiamos las variables, el sistema no cambia), las soluciones para $y$ y $z$ serán idénticas: $$y = \frac{1}{\alpha + 2}; \quad z = \frac{1}{\alpha + 2}$$ 💡 **Tip:** En sistemas tan simétricos como este, si $x$ tiene una forma, es muy probable que $y$ y $z$ sean iguales si los términos independientes también son idénticos. ✅ **Resultado (SCD):** $$\boxed{x = \frac{1}{\alpha + 2}, \quad y = \frac{1}{\alpha + 2}, \quad z = \frac{1}{\alpha + 2}}$$

**c) Obtener, razonadamente, la solución del sistema cuando $\alpha = 0$. (0,7 puntos).** Como $\alpha = 0$ no es ni $1$ ni $-2$, nos encontramos ante un caso de **Sistema Compatible Determinado**. Podemos obtener la solución sustituyendo $\alpha = 0$ en la solución general obtenida en el apartado b): $$x = \frac{1}{0 + 2} = \frac{1}{2}$$ $$y = \frac{1}{0 + 2} = \frac{1}{2}$$ $$z = \frac{1}{0 + 2} = \frac{1}{2}$$ Si queremos razonarlo mediante el sistema directo con $\alpha = 0$: $$\begin{cases} y + z = 1 \\ x + z = 1 \\ x + y = 1 \end{cases}$$ De las dos primeras: $y = 1 - z$ y $x = 1 - z$, luego $x = y$. Sustituyendo en la tercera: $x + x = 1 \Rightarrow 2x = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{2}$. Entonces $y = \frac{1}{2}$ y $z = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$. ✅ **Resultado ($\alpha = 0$):** $$\boxed{x = \frac{1}{2}, \quad y = \frac{1}{2}, \quad z = \frac{1}{2}}$$