Optimización del área de un rectángulo en un semicírculo

**a) El área del rectángulo en función de $x$. (1,3 puntos).** Situamos el semicírculo en un sistema de ejes coordenados, colocando el centro en el origen $(0,0)$ y el segmento rectilíneo (el diámetro) sobre el eje $X$. El radio del semicírculo es $R = \sqrt{50}$ metros. La ecuación de la circunferencia completa sería $x^2 + y^2 = R^2 = 50$. Como trabajamos con un semicírculo superior, la ecuación es $y = \sqrt{50 - x_p^2}$ (donde $x_p$ es la coordenada de un punto en el arco). El rectángulo tiene: - Base apoyada sobre el eje $X$, centrada en el origen. Si la distancia entre los vértices es $x$, estos vértices están en los puntos $(-x/2, 0)$ y $(x/2, 0)$. - Altura $y$ determinada por los vértices que tocan la semicircunferencia en los puntos $(\pm x/2, y)$. 💡 **Tip:** Al centrar la figura en el origen aprovechamos la simetría, lo que facilita enormemente encontrar la relación entre las variables.

La altura $y$ del rectángulo viene dada por el valor de la ordenada de los puntos sobre la semicircunferencia cuya abscisa es $x/2$. Sustituimos en la ecuación $x_p^2 + y^2 = 50$: $$\left(\frac{x}{2}\right)^2 + y^2 = 50 \implies \frac{x^2}{4} + y^2 = 50$$ Despejamos $y$ (tomando el valor positivo por ser una longitud): $$y = \sqrt{50 - \frac{x^2}{4}}$$ El área $A$ del rectángulo es el producto de la base $x$ por la altura $y$: $$A(x) = x \cdot y = x \cdot \sqrt{50 - \frac{x^2}{4}}$$ Para simplificar la expresión, podemos introducir la $x$ dentro de la raíz o sacar factor común $1/4$: $$A(x) = x \sqrt{\frac{200 - x^2}{4}} = \frac{x}{2} \sqrt{200 - x^2}$$ El dominio de la función, dado que $x$ es una distancia y no puede exceder el diámetro ($2\sqrt{50} = \sqrt{200}$), es $x \in (0, \sqrt{200})$. ✅ **Resultado (Área):** $$\boxed{A(x) = \frac{x}{2} \sqrt{200 - x^2}}$$

**b) El valor de $x$ para el que es máxima el área del rectángulo. (2 puntos).** Para hallar el máximo, derivamos $A(x)$ respecto a $x$ usando la regla del producto y la regla de la cadena: $$A'(x) = \frac{1}{2} \left[ 1 \cdot \sqrt{200-x^2} + x \cdot \frac{-2x}{2\sqrt{200-x^2}} \right]$$ $$A'(x) = \frac{1}{2} \left[ \sqrt{200-x^2} - \frac{x^2}{\sqrt{200-x^2}} \right]$$ Operamos para obtener una sola fracción: $$A'(x) = \frac{1}{2} \left[ \frac{(200-x^2) - x^2}{\sqrt{200-x^2}} \right] = \frac{200 - 2x^2}{2\sqrt{200-x^2}} = \frac{100 - x^2}{\sqrt{200-x^2}}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para optimizar una función $f(x)$, buscamos los puntos críticos donde $f'(x) = 0$.

Igualamos la derivada a cero: $$A'(x) = 0 \implies \frac{100 - x^2}{\sqrt{200 - x^2}} = 0 \implies 100 - x^2 = 0$$ $$x^2 = 100 \implies x = \pm 10$$ Como $x$ representa una distancia en un contexto geométrico, descartamos la solución negativa. Por tanto, el único punto crítico es: $$x = 10 \text{ metros}$$

Analizamos el signo de $A'(x)$ alrededor de $x = 10$ dentro del dominio $(0, \sqrt{200})$. El denominador $\sqrt{200-x^2}$ siempre es positivo, por lo que el signo depende solo del numerador $100-x^2$. $$\begin{array}{c|ccc} x & (0,10) & 10 & (10, \sqrt{200}) \\ \hline 100-x^2 & + & 0 & - \\ \hline A'(x) & + & 0 & - \\ \hline A(x) & \text{Creciente} & \text{Máximo} & \text{Decreciente} \end{array}$$ Al pasar de crecer a decrecer en $x = 10$, confirmamos que se trata de un **máximo relativo**. Como es el único extremo en el dominio, es el máximo absoluto. ✅ **Resultado (Valor de x):** $$\boxed{x = 10 \text{ metros}}$$