Movimiento rectilíneo y pendiente de la recta

**a) Las coordenadas del punto $M(t)$ donde está situado el móvil después de $t$ segundos. (1 punto).** El móvil se desplaza sobre la recta vertical $x = 1$. Esto significa que su abscisa (coordenada $x$) es constante independientemente del tiempo $t$: $$x(t) = 1.$$ En cuanto a la ordenada (coordenada $y$), sabemos que se mueve con una velocidad constante de $v = 2\text{ m/s}$ partiendo del punto $(1, 0)$ en el instante $t = 0$. Como el movimiento es en el primer cuadrante, el móvil se desplaza hacia arriba por la recta $x=1$. Usando la ecuación del movimiento rectilíneo uniforme (MRU) para la componente $y$: $$y(t) = y_0 + v \cdot t$$ $$y(t) = 0 + 2t = 2t.$$ Por tanto, las coordenadas del punto en cualquier instante $t \ge 0$ son: $$\boxed{M(t) = (1, 2t)}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que en un movimiento con velocidad constante $v$, la posición viene dada por $s = s_0 + v \cdot t$. En este caso, el movimiento solo ocurre en el eje vertical sobre la recta $x=1$.

**b) La función $m(t)$ igual a la pendiente de la recta que pasa por el punto $O = (0, 0)$ y por el punto $M(t)$. (1,3 puntos).** La pendiente $m$ de una recta que pasa por dos puntos $(x_1, y_1)$ y $(x_2, y_2)$ se calcula mediante la fórmula: $$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}.$$ En nuestro caso, la recta pasa por el origen $O(0, 0)$ y por el punto móvil $M(t) = (1, 2t)$. Sustituimos estos valores en la fórmula: $$m(t) = \frac{2t - 0}{1 - 0} = \frac{2t}{1} = 2t.$$ La función que define la pendiente en función del tiempo es: $$\boxed{m(t) = 2t}$$ 💡 **Tip:** La pendiente de la recta que une el origen con un punto $(x, y)$ coincide con el cociente $\frac{y}{x}$ (siempre que $x \neq 0$).

**c) La derivada de la función $m(t)$. (1 punto).** Disponemos de la función $m(t) = 2t$, que es una función polinómica de primer grado (lineal). Para calcular su derivada respecto al tiempo $t$, aplicamos las reglas básicas de derivación: $$\frac{d}{dt}(k \cdot t) = k.$$ Por lo tanto: $$m'(t) = \frac{d}{dt}(2t) = 2.$$ Esto indica que la pendiente de la recta $OM(t)$ aumenta de forma constante a un ritmo de 2 unidades por segundo. $$\boxed{m'(t) = 2}$$ 💡 **Tip:** La derivada de una función lineal $f(x) = ax + b$ es siempre su pendiente $a$.