Área bajo una parábola y división de un rectángulo

**a) El área de la región del plano limitada por el eje $X$, el eje $Y$, la recta $x = \sqrt{6}$ y la curva $y = g(x)$. (2 puntos).** La región descrita está delimitada por: - El eje $Y$, que corresponde a la recta $x=0$. - La recta vertical $x=\sqrt{6}$. - El eje $X$, que es la recta $y=0$. - La función $g(x) = x^2 + \alpha$. Como $\alpha$ es un número real positivo, la función $g(x) = x^2 + \alpha$ siempre es positiva ($g(x) > 0$ para todo $x$). Por tanto, el área $A$ viene dada directamente por la integral definida de la función entre los límites $x=0$ y $x=\sqrt{6}$: $$A = \int_{0}^{\sqrt{6}} g(x) \, dx = \int_{0}^{\sqrt{6}} (x^2 + \alpha) \, dx$$ 💡 **Tip:** Cuando una función es positiva en el intervalo $[a, b]$, el área bajo la curva coincide exactamente con la integral definida $\int_a^b f(x)dx$.

Calculamos la primitiva de la función y aplicamos la Regla de Barrow: $$\int (x^2 + \alpha) \, dx = \frac{x^3}{3} + \alpha x$$ Ahora evaluamos en los límites de integración: $$A = \left[ \frac{x^3}{3} + \alpha x \right]_{0}^{\sqrt{6}} = \left( \frac{(\sqrt{6})^3}{3} + \alpha \sqrt{6} \right) - (0)$$ Simplificamos $(\sqrt{6})^3$: $$(\sqrt{6})^3 = \sqrt{6} \cdot \sqrt{6} \cdot \sqrt{6} = 6\sqrt{6}$$ Sustituyendo: $$A = \frac{6\sqrt{6}}{3} + \alpha \sqrt{6} = 2\sqrt{6} + \alpha \sqrt{6}$$ Podemos factorizar $\sqrt{6}$: $$A = (2 + \alpha)\sqrt{6}$$ ✅ **Resultado del área:** $$\boxed{A = (2 + \alpha)\sqrt{6} \text{ u}^2}$$

**b) El valor $\alpha$ para el que la curva $y = x^2 + \alpha$ divide al rectángulo de vértices $(0,0)$, $(\sqrt{6}, 0)$, $(\sqrt{6}, 6 + \alpha)$, $(0, 6 + \alpha)$ en dos regiones de igual área. (1,3 puntos).** Primero, identificamos las dimensiones del rectángulo. Los vértices forman un rectángulo con: - **Base:** La distancia entre $x=0$ y $x=\sqrt{6}$, que es $b = \sqrt{6}$. - **Altura:** La distancia entre $y=0$ y $y=6+\alpha$, que es $h = 6 + \alpha$. El área total del rectángulo ($A_{rect}$) es: $$A_{rect} = \text{base} \cdot \text{altura} = \sqrt{6} \cdot (6 + \alpha)$$ 💡 **Tip:** Un rectángulo de vértices $(0,0), (x_1, 0), (x_1, y_1), (0, y_1)$ tiene área $x_1 \cdot y_1$.

El enunciado pide que la curva divida al rectángulo en dos regiones de igual área. Esto significa que el área bajo la curva (que calculamos en el apartado anterior) debe ser la mitad del área total del rectángulo: $$A = \frac{1}{2} A_{rect}$$ Sustituimos las expresiones obtenidas: $$(2 + \alpha)\sqrt{6} = \frac{1}{2} \left[ \sqrt{6} (6 + \alpha) \right]$$ Como $\sqrt{6} \neq 0$, podemos simplificar dividiendo ambos miembros por $\sqrt{6}$: $$2 + \alpha = \frac{6 + \alpha}{2}$$ 💡 **Tip:** Visualmente, la curva $y=x^2+\alpha$ pasa por el interior del rectángulo ya que para $x=0$, $y=\alpha < 6+\alpha$ y para $x=\sqrt{6}$, $y=6+\alpha$, que es justo la esquina superior derecha del rectángulo.

Resolvemos la ecuación lineal resultante: $$2(2 + \alpha) = 6 + \alpha$$ $$4 + 2\alpha = 6 + \alpha$$ $$2\alpha - \alpha = 6 - 4$$ $$\alpha = 2$$ Como el enunciado indicaba que $\alpha$ debe ser un número real positivo, la solución es válida. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\alpha = 2}$$