Estudio de una función definida mediante una integral

**a) La integral $\int_1^{x+1} f(t) dt$. (1,5 puntos).** Para resolver la integral de la función $f(t) = at + b$, buscamos primero una primitiva de la función. Al ser un polinomio de grado 1, la integración es directa: $$\int (at + b) dt = \frac{at^2}{2} + bt$$ Aplicamos la **Regla de Barrow** para evaluar la integral definida en el intervalo $[1, x+1]$: $$\int_1^{x+1} (at + b) dt = \left[ \frac{at^2}{2} + bt \right]_1^{x+1}$$ Sustituimos los límites de integración: $$I = \left( \frac{a(x+1)^2}{2} + b(x+1) \right) - \left( \frac{a(1)^2}{2} + b(1) \right)$$ Desarrollamos el binomio $(x+1)^2 = x^2 + 2x + 1$ y simplificamos: $$I = \left( \frac{a(x^2 + 2x + 1)}{2} + bx + b \right) - \left( \frac{a}{2} + b \right)$$ $$I = \frac{ax^2}{2} + ax + \frac{a}{2} + bx + b - \frac{a}{2} - b$$ Agrupando los términos que dependen de $x$: $$I = \frac{a}{2}x^2 + (a + b)x$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la Regla de Barrow establece que $\int_a^b f(x)dx = G(b) - G(a)$, donde $G(x)$ es cualquier primitiva de $f(x)$. ✅ **Resultado del apartado a):** $$\boxed{\int_1^{x+1} f(t) dt = \frac{a}{2}x^2 + (a + b)x}$$

**b) La expresión de la derivada $F'(x)$ de la función $F(x)$. (0,5 puntos).** Primero, definimos la función $F(x)$ sustituyendo el resultado obtenido en el apartado anterior: $$F(x) = x \cdot \left( \int_1^{x+1} f(t) dt \right) = x \cdot \left( \frac{a}{2}x^2 + (a + b)x \right)$$ $$F(x) = \frac{a}{2}x^3 + (a + b)x^2$$ Ahora derivamos la función utilizando la regla de la potencia para cada término: $$F'(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{a}{2}x^3 + (a + b)x^2 \right)$$ $$F'(x) = \frac{a}{2} \cdot 3x^2 + (a + b) \cdot 2x$$ Simplificando la expresión: $$F'(x) = \frac{3a}{2}x^2 + 2(a + b)x$$ 💡 **Tip:** Aunque podríamos haber usado la regla del producto y el Teorema Fundamental del Cálculo, al haber calculado ya la integral en el apartado anterior, es mucho más directo operar con el polinomio resultante. ✅ **Resultado del apartado b):** $$\boxed{F'(x) = \frac{3a}{2}x^2 + 2(a + b)x}$$

**c) La relación entre los valores $a$ y $b$ para la que se verifica: $F''(0) = 0$. (1,3 puntos).** Para encontrar $F''(x)$, derivamos nuevamente la expresión obtenida en el apartado (b): $$F''(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{3a}{2}x^2 + 2(a + b)x \right)$$ $$F''(x) = \frac{3a}{2} \cdot 2x + 2(a + b)$$ $$F''(x) = 3ax + 2(a + b)$$ Se nos pide que se cumpla la condición $F''(0) = 0$. Sustituimos $x = 0$ en la expresión de la segunda derivada: $$F''(0) = 3a(0) + 2(a + b)$$ $$F''(0) = 2(a + b)$$ Igualamos a cero para hallar la relación pedida: $$2(a + b) = 0 \implies a + b = 0$$ De donde obtenemos que la relación entre los parámetros debe ser: $$a = -b$$ ✅ **Resultado del apartado c):** $$\boxed{a = -b \text{ (o bien } a + b = 0)}$$