Recta perpendicular, simétrico y plano que contiene ejes

**a) La ecuación de la recta $r$ que pasa por $O$ y es perpendicular al plano $\pi$. (1,1 puntos).** Si la recta $r$ es perpendicular al plano $\pi$, el vector director de la recta, $\vec{d_r}$, debe ser paralelo al vector normal del plano, $\vec{n_{\pi}}$. Del enunciado del plano $\pi: x + y + z = 6$, extraemos su vector normal: $$\vec{n_{\pi}} = (1, 1, 1).$$ Por tanto, tomamos como vector director de la recta: $$\vec{d_r} = (1, 1, 1).$$ 💡 **Tip:** Recuerda que en la ecuación general de un plano $Ax + By + Cz + D = 0$, el vector normal es $\vec{n} = (A, B, C)$.

Conocemos el punto por el que pasa la recta, $O = (0, 0, 0)$, y su vector director $\vec{d_r} = (1, 1, 1)$. Podemos escribir sus ecuaciones paramétricas: $$r: \begin{cases} x = \lambda \\ y = \lambda \\ z = \lambda \end{cases}$$ O bien, su ecuación en forma continua: $$r: \frac{x}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z}{1} \implies x = y = z.$$ ✅ **Resultado (recta r):** $$\boxed{r: x = y = z}$$

**b) Las coordenadas del punto simétrico de $O$ respecto del plano $\pi$. (1,1 puntos).** Para hallar el simétrico $O'$ de $O$ respecto al plano $\pi$, primero calculamos el punto de intersección $M$ entre la recta $r$ (que es perpendicular al plano y pasa por $O$) y el plano $\pi$. Sustituimos las ecuaciones paramétricas de $r$ ($x=\lambda, y=\lambda, z=\lambda$) en la ecuación del plano $\pi$: $$\lambda + \lambda + \lambda = 6 \implies 3\lambda = 6 \implies \lambda = 2.$$ Sustituimos el valor de $\lambda$ en la recta para hallar las coordenadas de $M$: $$M = (2, 2, 2).$$ 💡 **Tip:** El punto $M$ se conoce como la proyección ortogonal de $O$ sobre el plano $\pi$ y es el punto medio entre $O$ y su simétrico $O'$.

Como $M(2, 2, 2)$ es el punto medio del segmento $\overline{OO'}$, donde $O=(0, 0, 0)$ y $O'=(x', y', z')$, se cumple: $$M = \frac{O + O'}{2} \implies (2, 2, 2) = \left( \frac{0 + x'}{2}, \frac{0 + y'}{2}, \frac{0 + z'}{2} \right).$$ Igualamos componente a componente: - $2 = \frac{x'}{2} \implies x' = 4$ - $2 = \frac{y'}{2} \implies y' = 4$ - $2 = \frac{z'}{2} \implies z' = 4$ ✅ **Resultado (punto simétrico):** $$\boxed{O' = (4, 4, 4)}$$

**c) La ecuación del plano que contiene al eje $X$ y a la recta $r$. (1,1 puntos).** Identificamos los elementos característicos de cada uno: 1. **Eje X**: Pasa por el origen $O(0,0,0)$ y su vector director es $\vec{u_X} = (1, 0, 0)$. 2. **Recta r**: Pasa por el origen $O(0,0,0)$ y su vector director es $\vec{d_r} = (1, 1, 1)$. Como ambos pasan por el origen $O(0,0,0)$, tomaremos este como punto del plano. El vector normal del plano buscado, $\vec{n_{\sigma}}$, será el producto vectorial de los dos vectores directores. 💡 **Tip:** Para determinar un plano, necesitamos un punto y dos vectores directores (no paralelos) o un punto y un vector normal.

Calculamos el producto vectorial para hallar el vector normal $\vec{n_{\sigma}}$: $$\vec{n_{\sigma}} = \vec{u_X} \times \vec{d_r} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}$$ Desarrollamos por Sarrus: $$\vec{n_{\sigma}} = (0\cdot 1 - 0\cdot 1)\mathbf{i} - (1\cdot 1 - 0\cdot 1)\mathbf{j} + (1\cdot 1 - 0\cdot 1)\mathbf{k} = 0\mathbf{i} - 1\mathbf{j} + 1\mathbf{k} = (0, -1, 1).$$ La ecuación del plano con normal $(0, -1, 1)$ que pasa por $(0, 0, 0)$ es: $$0(x - 0) - 1(y - 0) + 1(z - 0) = 0 \implies -y + z = 0.$$ Multiplicando por $-1$ obtenemos la forma más habitual: $$y - z = 0.$$ ✅ **Resultado (plano):** $$\boxed{y - z = 0}$$