Perpendicularidad y paralelismo entre planos

**a) El valor de $\alpha$ para que los planos $\pi_1$ y $\pi_2$ sean perpendiculares y, para este valor de $\alpha$, obtener las ecuaciones paramétricas de la recta intersección de esos dos planos. (1,5 puntos).** Dos planos son perpendiculares si sus vectores normales también lo son. El producto escalar de sus vectores normales debe ser cero. Extraemos los vectores normales de las ecuaciones generales de los planos: - $\pi_1: x + y + z = 3 \implies \vec{n}_1 = (1, 1, 1)$ - $\pi_2: x + y - \alpha z = 0 \implies \vec{n}_2 = (1, 1, -\alpha)$ Imponemos la condición de perpendicularidad $\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2 = 0$: $$(1, 1, 1) \cdot (1, 1, -\alpha) = 0$$ $$1(1) + 1(1) + 1(-\alpha) = 0$$ $$1 + 1 - \alpha = 0 \implies 2 - \alpha = 0$$ $$\alpha = 2$$ 💡 **Tip:** Recuerda que dos vectores $\vec{u}$ y $\vec{v}$ son perpendiculares si y solo si $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\alpha = 2}$$

Para $\alpha = 2$, la recta $r$ es la intersección de: $$\begin{cases} x + y + z = 3 \\ x + y - 2z = 0 \end{cases}$$ Para obtener las paramétricas, necesitamos un punto $P_r$ y un vector director $\vec{v}_r$. El vector director se obtiene mediante el producto vectorial de los normales: $$\vec{v}_r = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2 = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -2 \end{vmatrix}$$ Resolvemos por Sarrus: $$\vec{v}_r = \vec{i}(-2) + \vec{j}(1) + \vec{k}(1) - [\vec{k}(1) + \vec{i}(1) + \vec{j}(-2)]$$ $$\vec{v}_r = (-2, 1, 1) - (1, -2, 1) = (-3, 3, 0)$$ Podemos simplificar el vector director dividiendo por 3 (o -3): $\vec{v}_r = (-1, 1, 0)$. Buscamos un punto de la recta fijando una coordenada, por ejemplo $y=0$: $$\begin{cases} x + z = 3 \\ x - 2z = 0 \implies x = 2z \end{cases}$$ Sustituyendo: $2z + z = 3 \implies 3z = 3 \implies z = 1$. Entonces $x = 2(1) = 2$. El punto es $P_r(2, 0, 1)$. Las ecuaciones paramétricas son: $$\begin{cases} x = 2 - \lambda \\ y = \lambda \\ z = 1 \end{cases}$$ 💡 **Tip:** El vector director de la recta intersección de dos planos siempre es paralelo al producto vectorial de sus vectores normales. ✅ **Resultado:** $$\boxed{r: \begin{cases} x = 2 - \lambda \\ y = \lambda \\ z = 1 \end{cases}}$$

**b) El valor de $\alpha$ para que los planos $\pi_1$ y $\pi_2$ sean paralelos y, para este valor de $\alpha$, obtener la distancia entre los dos planos $\pi_1$ y $\pi_2$. (1,8 puntos).** Dos planos son paralelos si sus vectores normales son proporcionales: $$\frac{1}{1} = \frac{1}{1} = \frac{1}{-\alpha}$$ De la igualdad $1 = \frac{1}{-\alpha}$ obtenemos: $$-\alpha = 1 \implies \alpha = -1$$ Verificamos que no sean coincidentes comparando los términos independientes: $\pi_1: x + y + z - 3 = 0$ $\pi_2: x + y + z = 0$ Como $\frac{1}{1} = \frac{1}{1} = \frac{1}{1} \neq \frac{-3}{0}$, los planos son estrictamente paralelos. 💡 **Tip:** Si todos los coeficientes incluyendo el término independiente son proporcionales, los planos son coincidentes. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\alpha = -1}$$

Para calcular la distancia entre dos planos paralelos, elegimos un punto arbitrario de uno de ellos y calculamos su distancia al otro plano. Sea $P$ un punto de $\pi_2: x + y + z = 0$. Si hacemos $x=0$ e $y=0$, obtenemos $z=0$. El origen $P(0, 0, 0)$ pertenece a $\pi_2$. Calculamos la distancia de $P(0, 0, 0)$ al plano $\pi_1: x + y + z - 3 = 0$ usando la fórmula: $$d(P, \pi_1) = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$$ $$d(\pi_1, \pi_2) = \frac{|1(0) + 1(0) + 1(0) - 3|}{\sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2}} = \frac{|-3|}{\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}}$$ Racionalizando el resultado: $$\frac{3}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3} \text{ unidades}$$ 💡 **Tip:** También puedes usar la fórmula directa para planos paralelos $Ax+By+Cz+D_1=0$ y $Ax+By+Cz+D_2=0$: $d = \frac{|D_2 - D_1|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{d(\pi_1, \pi_2) = \sqrt{3} \approx 1,732 \text{ u}}$$