Discusión y resolución de un sistema con un parámetro

**a) Probar que es compatible para todo valor de $\alpha$. (1,3 puntos).** Escribimos el sistema en forma matricial $A \cdot X = B$, donde $A$ es la matriz de coeficientes y $A^*$ es la matriz ampliada: $$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & -1 & 1 \\ 3 & \alpha & 2 \end{pmatrix}, \quad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & \alpha + 3 \\ 2 & -1 & 1 & \alpha + 1 \\ 3 & \alpha & 2 & 4 \end{array}\right)$$ Para discutir el sistema según el **Teorema de Rouché-Frobenius**, calculamos el determinante de $A$ usando la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & -1 & 1 \\ 3 & \alpha & 2 \end{vmatrix} = [1(-1)2 + 1(1)3 + 1(2)\alpha] - [3(-1)1 + \alpha(1)1 + 2(2)1]$$ $$|A| = (-2 + 3 + 2\alpha) - (-3 + \alpha + 4) = (1 + 2\alpha) - (1 + \alpha) = \alpha$$ 💡 **Tip:** El determinante de la matriz de coeficientes nos indica si el sistema tiene solución única cuando es distinto de cero.

Analizamos los casos según el valor de $|A|$: **Caso 1: $\alpha \neq 0$** Si $\alpha \neq 0$, entonces $|A| \neq 0$. Esto implica que $\text{rango}(A) = 3$. Como el rango máximo de la matriz ampliada $A^*$ también es 3 y coincide con el número de incógnitas: $$\text{rango}(A) = \text{rango}(A^*) = 3$$ Según el Teorema de Rouché-Frobenius, el sistema es **Compatible Determinado (SCD)**. **Caso 2: $\alpha = 0$** Si $\alpha = 0$, el determinante $|A| = 0$, por lo que $\text{rango}(A) \lt 3$. Buscamos un menor de orden 2 distinto de cero en $A$: $$\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} = -1 - 2 = -3 \neq 0 \implies \text{rango}(A) = 2$$ Estudiamos el rango de $A^*$ para $\alpha = 0$ sustituyendo el valor en la matriz: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 3 \\ 2 & -1 & 1 & 1 \\ 3 & 0 & 2 & 4 \end{array}\right)$$ Calculamos el determinante de un menor de orden 3 que incluya la columna de términos independientes: $$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 3 \\ 2 & -1 & 1 \\ 3 & 0 & 4 \end{vmatrix} = (-4 + 3 + 0) - (-9 + 0 + 8) = -1 - (-1) = 0$$ Como todos los menores de orden 3 son cero, $\text{rango}(A^*) = 2$. 💡 **Tip:** Si el rango de $A$ y $A^*$ coinciden pero es menor al número de incógnitas, el sistema tiene infinitas soluciones.

Tras el análisis anterior, podemos responder a los dos primeros apartados: **Conclusión a):** - Si $\alpha \neq 0$, el sistema es Compatible Determinado. - Si $\alpha = 0$, $\text{rango}(A) = \text{rango}(A^*) = 2$, por lo que el sistema es Compatible Indeterminado. Como en ambos casos el sistema tiene solución, queda probado que **el sistema es compatible para todo valor de $\alpha$**. **Conclusión b): [Obtener razonadamente el valor $\alpha$ para el que el sistema es indeterminado]** El sistema es indeterminado cuando $\text{rango}(A) = \text{rango}(A^*) \lt n$ (siendo $n=3$ el número de incógnitas). Esto ocurre, como hemos visto, cuando el determinante de la matriz de coeficientes es cero y el de la ampliada también. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\alpha = 0}$$

**c) Resolver el sistema cuando $\alpha = 0$, escribiendo los cálculos necesarios para ello. (1 punto).** Para $\alpha = 0$, el sistema es: $$\begin{cases} x + y + z = 3 \\ 2x - y + z = 1 \\ 3x + 2z = 4 \end{cases}$$ Como el $\text{rango}(A) = 2$, una de las ecuaciones es redundante (la tercera es la suma de las dos primeras). Utilizamos las dos primeras ecuaciones y pasamos una incógnita al segundo miembro como parámetro. Sea **$z = \lambda$**: $$\begin{cases} x + y = 3 - \lambda \\ 2x - y = 1 - \lambda \end{cases}$$ Resolvemos por reducción sumando ambas ecuaciones: $$(x + y) + (2x - y) = (3 - \lambda) + (1 - \lambda)$$ $$3x = 4 - 2\lambda \implies x = \frac{4 - 2\lambda}{3}$$ Sustituimos $x$ en la primera ecuación para hallar $y$: $$y = 3 - \lambda - x = 3 - \lambda - \frac{4 - 2\lambda}{3} = \frac{9 - 3\lambda - 4 + 2\lambda}{3} = \frac{5 - \lambda}{3}$$ 💡 **Tip:** Recuerda expresar la solución general en función del parámetro $\lambda \in \mathbb{R}$. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\left\{ \begin{array}{l} x = \frac{4}{3} - \frac{2}{3}\lambda \\ y = \frac{5}{3} - \frac{1}{3}\lambda \\ z = \lambda \end{array} \right. \quad \forall \lambda \in \mathbb{R}}$$