Ecuaciones matriciales y autovectores

**a) El vector $X$ tal que $AX = 0X$. (1,1 puntos).** La expresión $AX = 0X$ es equivalente a resolver el sistema homogéneo $AX = \mathbf{0}$, donde $\mathbf{0}$ es el vector nulo $\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$. Planteamos el producto matricial: $$\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$ Esto nos genera el siguiente sistema de ecuaciones lineales: $$\begin{cases} x - y = 0 \\ 2x + 4y = 0 \end{cases}$$ Resolvemos por sustitución. De la primera ecuación obtenemos: $$x = y$$ Sustituimos en la segunda ecuación: $$2(y) + 4y = 0 \implies 6y = 0 \implies y = 0$$ Si $y = 0$, entonces $x = 0$. Por lo tanto, la única solución es el vector nulo. 💡 **Tip:** Un sistema homogéneo $AX = 0$ siempre tiene al menos la solución trivial $X = 0$. Para que existan más soluciones, el determinante de la matriz debe ser cero. ✅ **Resultado:** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}}$$

**b) Todos los vectores $X$ tales que $AX = 3X$. (1,1 puntos).** La ecuación $AX = 3X$ se puede reescribir como: $$AX - 3X = \mathbf{0} \implies (A - 3I)X = \mathbf{0}$$ donde $I$ es la matriz identidad $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$. Calculamos la matriz $(A - 3I)$: $$A - 3I = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1-3 & -1 \\ 2 & 4-3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & -1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$$ Ahora resolvemos el sistema $\begin{pmatrix} -2 & -1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$: $$\begin{cases} -2x - y = 0 \\ 2x + y = 0 \end{cases}$$ Observamos que ambas ecuaciones son dependientes (la segunda es la primera multiplicada por $-1$). Esto indica que el sistema es **compatible indeterminado**. Despejamos $y$ en función de $x$ de la segunda ecuación: $$y = -2x$$ Si llamamos $x = \lambda$, con $\lambda \in \mathbb{R}$, los vectores solución tienen la forma: $$X = \begin{pmatrix} \lambda \\ -2\lambda \end{pmatrix} = \lambda \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Cuando el sistema es dependiente, existen infinitas soluciones. Estas soluciones definen el subespacio propio asociado al autovalor $\lambda = 3$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} \lambda \\ -2\lambda \end{pmatrix}, \forall \lambda \in \mathbb{R}}$$

**c) Todos los vectores $X$ tales que $AX = 2X$. (1,1 puntos).** De forma análoga al apartado anterior, planteamos $(A - 2I)X = \mathbf{0}$: Calculamos la matriz $(A - 2I)$: $$A - 2I = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1-2 & -1 \\ 2 & 4-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & -1 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}$$ Resolvemos el sistema $\begin{pmatrix} -1 & -1 \\ 2 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$: $$\begin{cases} -x - y = 0 \\ 2x + 2y = 0 \end{cases}$$ Nuevamente, las ecuaciones son proporcionales (la segunda es la primera multiplicada por $-2$). El sistema es **compatible indeterminado**. De la primera ecuación despejamos $y$: $$y = -x$$ Si tomamos $x = \mu$, con $\mu \in \mathbb{R}$, los vectores solución son: $$X = \begin{pmatrix} \mu \\ -\mu \end{pmatrix} = \mu \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Al igual que en el apartado anterior, hemos hallado los autovectores asociados al autovalor $\lambda = 2$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} \mu \\ -\mu \end{pmatrix}, \forall \mu \in \mathbb{R}}$$