Geometría en el espacio: Rectas, planos, intersecciones y áreas

**a) (0,5 puntos) Hallar la ecuación de la recta $r$ perpendicular al plano $\pi$ que pasa por el punto $P$.** Si una recta $r$ es perpendicular a un plano $\pi$, el vector director de la recta $\vec{v_r}$ debe ser paralelo al vector normal del plano $\vec{n_\pi}$. A partir de la ecuación general del plano $\pi \equiv 3x + 2y - z + 10 = 0$, extraemos su vector normal: $$\vec{n_\pi} = (3, 2, -1)$$ Utilizamos este vector como vector director de nuestra recta $r$ y el punto dado $P(1, 2, 3)$. La ecuación paramétrica de la recta es: $$r \equiv \begin{cases} x = 1 + 3\lambda \\ y = 2 + 2\lambda \\ z = 3 - \lambda \end{cases}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que en la ecuación general de un plano $Ax+By+Cz+D=0$, el vector normal es $(A, B, C)$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{r \equiv (x, y, z) = (1, 2, 3) + \lambda(3, 2, -1)}$$

**b) (0,5 puntos) Hallar el punto $Q$ intersección de $\pi$ y $r$.** Para hallar el punto de intersección $Q$, sustituimos las expresiones de $x, y, z$ de la recta $r$ en la ecuación del plano $\pi$: $$3(1 + 3\lambda) + 2(2 + 2\lambda) - (3 - \lambda) + 10 = 0$$ Desarrollamos la ecuación para hallar el valor del parámetro $\lambda$: $$3 + 9\lambda + 4 + 4\lambda - 3 + \lambda + 10 = 0$$ $$14\lambda + 14 = 0 \implies 14\lambda = -14 \implies \lambda = -1$$ Ahora, sustituimos $\lambda = -1$ en las ecuaciones de la recta $r$ para obtener las coordenadas de $Q$: $$x = 1 + 3(-1) = -2$$ $$y = 2 + 2(-1) = 0$$ $$z = 3 - (-1) = 4$$ 💡 **Tip:** El punto de intersección entre una recta y un plano siempre se encuentra resolviendo el sistema formado por ambas ecuaciones, lo más sencillo es usar la forma paramétrica de la recta. ✅ **Resultado:** $$\boxed{Q(-2, 0, 4)}$$

**c) (0,5 puntos) Hallar el punto $R$ intersección de $\pi$ con el eje $OY$.** Cualquier punto que pertenezca al eje $OY$ tiene sus coordenadas $x$ y $z$ iguales a cero. Por tanto, la ecuación del eje $OY$ es: $$eje\, OY \equiv \begin{cases} x = 0 \\ z = 0 \end{cases}$$ Para hallar la intersección $R$, sustituimos $x=0$ y $z=0$ en la ecuación del plano $\pi \equiv 3x + 2y - z + 10 = 0$: $$3(0) + 2y - (0) + 10 = 0$$ $$2y + 10 = 0 \implies 2y = -10 \implies y = -5$$ Las coordenadas del punto $R$ son $(0, -5, 0)$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{R(0, -5, 0)}$$

**d) (0,5 puntos) Hallar el área del triángulo $PQR$.** El área de un triángulo con vértices $P, Q, R$ se calcula mediante la fórmula: $$\text{Área} = \frac{1}{2} |\vec{QP} \times \vec{QR}|$$ Primero, calculamos los vectores que parten de un mismo vértice, por ejemplo $Q$: $$\vec{QP} = P - Q = (1 - (-2), 2 - 0, 3 - 4) = (3, 2, -1)$$ $$\vec{QR} = R - Q = (0 - (-2), -5 - 0, 0 - 4) = (2, -5, -4)$$ Calculamos el producto vectorial $\vec{QP} \times \vec{QR}$ mediante el determinante: $$\vec{QP} \times \vec{QR} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 3 & 2 & -1 \\ 2 & -5 & -4 \end{vmatrix}$$ Resolviendo por Sarrus: $$\vec{QP} \times \vec{QR} = \vec{i}(-8 - 5) - \vec{j}(-12 - (-2)) + \vec{k}(-15 - 4)$$ $$\vec{QP} \times \vec{QR} = -13\vec{i} + 10\vec{j} - 19\vec{k} = (-13, 10, -19)$$ Calculamos el módulo de este vector: $$|\vec{QP} \times \vec{QR}| = \sqrt{(-13)^2 + 10^2 + (-19)^2} = \sqrt{169 + 100 + 361} = \sqrt{630}$$ Finalmente, el área es: $$\text{Área} = \frac{\sqrt{630}}{2} \approx 12,55 \text{ u}^2$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el módulo del producto vectorial de dos vectores es el área del paralelogramo que forman. La mitad es el área del triángulo. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Área} = \frac{\sqrt{630}}{2} \text{ u}^2}$$