Área de una región con parámetro y optimización

**a) (1,5 puntos). Para cada valor de $c > 0$, calcular el área de la región acotada comprendida entre la gráfica de la función: $f(x) = cx^4 + \frac{1}{c}x^2 + 1$, el eje $OX$ y las rectas $x = 0, x = 1$.** Primero, observamos que para $c > 0$, la función $f(x) = cx^4 + \frac{1}{c}x^2 + 1$ siempre es positiva para cualquier valor de $x$, ya que los términos en $x$ tienen exponentes pares y sumamos $1$. Por tanto, la gráfica de la función siempre está por encima del eje $OX$. El área $A(c)$ de la región delimitada por la función, el eje $OX$ ($y=0$) y las rectas verticales $x=0$ y $x=1$ viene dada por la integral definida: $$A(c) = \int_{0}^{1} f(x) \, dx = \int_{0}^{1} \left( cx^4 + \frac{1}{c}x^2 + 1 \right) dx$$ 💡 **Tip:** Si $f(x) \ge 0$ en el intervalo $[a, b]$, el área es simplemente la integral definida $\int_{a}^{b} f(x) \, dx$.

Calculamos la integral indefinida de la función término a término: $$\int \left( cx^4 + \frac{1}{c}x^2 + 1 \right) dx = c \frac{x^5}{5} + \frac{1}{c} \frac{x^3}{3} + x + C$$ Aplicamos la **Regla de Barrow** evaluando en los límites de integración $0$ y $1$: $$A(c) = \left[ \frac{c}{5}x^5 + \frac{1}{3c}x^3 + x \right]_{0}^{1}$$ $$A(c) = \left( \frac{c}{5}(1)^5 + \frac{1}{3c}(1)^3 + 1 \right) - \left( \frac{c}{5}(0)^5 + \frac{1}{3c}(0)^3 + 0 \right)$$ $$A(c) = \frac{c}{5} + \frac{1}{3c} + 1$$ ✅ **Resultado del área en función de $c$:** $$\boxed{A(c) = \frac{c}{5} + \frac{1}{3c} + 1}$$

**b) (1,5 puntos). Hallar el valor de $c$ para el cual el área obtenida en el apartado a) es mínima.** Tenemos la función del área $A(c) = \frac{c}{5} + \frac{1}{3c} + 1$ definida para $c > 0$. Para hallar el mínimo, calculamos su primera derivada respecto a $c$: $$A'(c) = \frac{d}{dc} \left( \frac{c}{5} + \frac{1}{3}c^{-1} + 1 \right)$$ $$A'(c) = \frac{1}{5} - \frac{1}{3}c^{-2} = \frac{1}{5} - \frac{1}{3c^2}$$ Igualamos la derivada a cero para encontrar los puntos críticos: $$\frac{1}{5} - \frac{1}{3c^2} = 0 \implies \frac{1}{5} = \frac{1}{3c^2}$$ $$3c^2 = 5 \implies c^2 = \frac{5}{3}$$ Como el enunciado especifica que $c > 0$, tomamos la raíz positiva: $$c = \sqrt{\frac{5}{3}} = \frac{\sqrt{15}}{3}$$ 💡 **Tip:** Para minimizar una función, buscamos los puntos donde su derivada es cero (puntos críticos) y luego verificamos si es un mínimo usando la segunda derivada o el estudio del signo.

Para confirmar que en $c = \sqrt{5/3}$ existe un mínimo relativo, calculamos la segunda derivada $A''(c)$: $$A''(c) = \frac{d}{dc} \left( \frac{1}{5} - \frac{1}{3}c^{-2} \right) = 0 - \frac{1}{3}(-2)c^{-3} = \frac{2}{3c^3}$$ Evaluamos la segunda derivada en el punto crítico $c = \sqrt{5/3}$: Como $c > 0$, entonces $A''(\sqrt{5/3}) = \frac{2}{3(\sqrt{5/3})^3} > 0$. Al ser la segunda derivada positiva ($A'' > 0$), se confirma que en ese punto la función área alcanza un **mínimo**. ✅ **Valor de $c$ para el área mínima:** $$\boxed{c = \sqrt{\frac{5}{3}} = \frac{\sqrt{15}}{3}}$$