Determinantes de matrices de orden n

**a) (0,5 puntos). Calcular el determinante de la matriz $A_2$.** Primero escribimos la matriz $A_2$, que es de orden $2 \times 2$, siguiendo el patrón del enunciado: $$A_2 = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 9 \end{pmatrix}$$ Calculamos su determinante multiplicando los elementos de la diagonal principal y restando el producto de la diagonal secundaria: $$|A_2| = \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 9 \end{vmatrix} = (1 \cdot 9) - (-1 \cdot 1) = 9 + 1 = 10.$$ 💡 **Tip:** Para una matriz $2 \times 2$, el determinante es $\text{det}(A) = ad - bc$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{|A_2| = 10}$$

**b) (0,5 puntos). Calcular el determinante de la matriz $A_3$.** Escribimos la matriz $A_3$: $$A_3 = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ -1 & 9 & 1 \\ -1 & -1 & 9 \end{pmatrix}$$ Para resolver este determinante de forma eficiente, aplicamos propiedades de los determinantes para hacer ceros por debajo de la diagonal principal. Realizamos las operaciones entre filas: 1. Sustituimos la fila 2 por la suma de la fila 2 y la fila 1 ($F_2 \to F_2 + F_1$). 2. Sustituimos la fila 3 por la suma de la fila 3 y la fila 1 ($F_3 \to F_3 + F_1$). $$|A_3| = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ -1 & 9 & 1 \\ -1 & -1 & 9 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 10 & 2 \\ 0 & 0 & 10 \end{vmatrix}$$ Al obtener una matriz triangular superior, el determinante es el producto de los elementos de su diagonal principal: $$|A_3| = 1 \cdot 10 \cdot 10 = 100.$$ 💡 **Tip:** Si a una fila de un determinante se le suma otra fila multiplicada por un número, el valor del determinante no varía. ✅ **Resultado:** $$\boxed{|A_3| = 100}$$

**c) (2 puntos). Calcular el determinante de la matriz $A_5$.** Siguiendo el razonamiento del apartado anterior, planteamos el determinante de la matriz $A_5$: $$|A_5| = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ -1 & 9 & 1 & 1 & 1 \\ -1 & -1 & 9 & 1 & 1 \\ -1 & -1 & -1 & 9 & 1 \\ -1 & -1 & -1 & -1 & 9 \end{vmatrix}$$ Aplicamos la misma propiedad para hacer ceros en la primera columna debajo del primer elemento. Sumamos la primera fila a todas las demás ($F_i \to F_i + F_1$ para $i=2, 3, 4, 5$): - Para $F_2$: $(-1+1, 9+1, 1+1, 1+1, 1+1) = (0, 10, 2, 2, 2)$ - Para $F_3$: $(-1+1, -1+1, 9+1, 1+1, 1+1) = (0, 0, 10, 2, 2)$ - Para $F_4$: $(-1+1, -1+1, -1+1, 9+1, 1+1) = (0, 0, 0, 10, 2)$ - Para $F_5$: $(-1+1, -1+1, -1+1, -1+1, 9+1) = (0, 0, 0, 0, 10)$ Obtenemos el determinante de una matriz triangular superior: $$|A_5| = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 10 & 2 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 10 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 10 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 10 \end{vmatrix}$$ El determinante es el producto de los elementos de la diagonal: $$|A_5| = 1 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 = 1 \cdot 10^4 = 10000.$$ 💡 **Tip:** El determinante de una matriz triangular es igual al producto de los elementos de su diagonal principal. ✅ **Resultado:** $$\boxed{|A_5| = 10000}$$