Estudio de extremos y puntos de inflexión

Para estudiar los máximos, mínimos y puntos de inflexión, lo primero es determinar el dominio de la función y calcular sus derivadas. La función es $f(x) = x(\ln(x))^2$. Debido a la presencia del logaritmo neperiano, el argumento $x$ debe ser estrictamente positivo. Por tanto: $$\text{Dominio: } D = (0, +\infty)$$ Calculamos la primera derivada $f'(x)$ utilizando la regla del producto y la regla de la cadena: $$f'(x) = (x)' \cdot (\ln(x))^2 + x \cdot \left[ (\ln(x))^2 \right]'$$ $$f'(x) = 1 \cdot (\ln(x))^2 + x \cdot \left[ 2 \ln(x) \cdot \frac{1}{x} \right]$$ $$f'(x) = (\ln(x))^2 + 2 \ln(x)$$ Podemos factorizar la expresión para facilitar el cálculo de las raíces: $$f'(x) = \ln(x) \left( \ln(x) + 2 \right)$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para derivar $u^n$ la fórmula es $n \cdot u^{n-1} \cdot u'$. En este caso, para $(\ln x)^2$, $n=2$ y $u=\ln x$. $$\boxed{f'(x) = (\ln(x))^2 + 2 \ln(x)}$$

Los puntos críticos se obtienen igualando la primera derivada a cero: $$f'(x) = 0 \implies \ln(x) \left( \ln(x) + 2 \right) = 0$$ Esto nos da dos posibles soluciones: 1. $\ln(x) = 0 \implies x = e^0 = 1$ 2. $\ln(x) + 2 = 0 \implies \ln(x) = -2 \implies x = e^{-2} = \dfrac{1}{e^2}$ Ambos valores pertenecen al dominio $(0, +\infty)$. Evaluamos la función en estos puntos para obtener las coordenadas $y$: - Para $x = 1$: $f(1) = 1 \cdot (\ln(1))^2 = 1 \cdot 0^2 = 0$ - Para $x = e^{-2}$: $f(e^{-2}) = e^{-2} \cdot (\ln(e^{-2}))^2 = e^{-2} \cdot (-2)^2 = 4e^{-2} = \dfrac{4}{e^2}$ 💡 **Tip:** El logaritmo y la exponencial son funciones inversas: $\ln(e^k) = k$.

Estudiamos el signo de $f'(x)$ en los intervalos definidos por los puntos críticos dentro del dominio $(0, +\infty)$: $$\begin{array}{c|ccccc} x & (0, e^{-2}) & e^{-2} & (e^{-2}, 1) & 1 & (1, +\infty) \\ \hline \ln(x) & - & - & - & 0 & + \\ \ln(x)+2 & - & 0 & + & + & + \\ \hline f'(x) & + & 0 & - & 0 & + \\ \text{Crecimiento} & \nearrow & \text{Máximo} & \searrow & \text{Mínimo} & \nearrow \end{array}$$ - En $x = e^{-2}$, la función pasa de crecer a decrecer, por lo que hay un **máximo relativo**. - En $x = 1$, la función pasa de decrecer a crecer, por lo que hay un **mínimo relativo**. ✅ **Resultado (Extremos):** $$\boxed{\text{Máximo relativo en } \left(e^{-2}, \dfrac{4}{e^2}\right) \approx (0.135, 0.541)}$$ $$\boxed{\text{Mínimo relativo en } (1, 0)}$$

Para hallar los puntos de inflexión, calculamos la segunda derivada $f''(x)$ a partir de $f'(x) = (\ln(x))^2 + 2 \ln(x)$: $$f''(x) = \left[ (\ln(x))^2 \right]' + \left[ 2 \ln(x) \right]'$$ $$f''(x) = 2 \ln(x) \cdot \frac{1}{x} + 2 \cdot \frac{1}{x} = \frac{2}{x} \left( \ln(x) + 1 \right)$$ Igualamos a cero para encontrar posibles puntos de inflexión: $$f''(x) = 0 \implies \frac{2}{x} (\ln(x) + 1) = 0$$ Como $x > 0$, la única posibilidad es: $$\ln(x) + 1 = 0 \implies \ln(x) = -1 \implies x = e^{-1} = \dfrac{1}{e}$$ Evaluamos la función en $x = e^{-1}$: $$f(e^{-1}) = e^{-1} \cdot (\ln(e^{-1}))^2 = e^{-1} \cdot (-1)^2 = e^{-1} = \dfrac{1}{e}$$ 💡 **Tip:** Un punto de inflexión requiere que $f''(x)=0$ y que exista un cambio de signo en la curvatura.

Analizamos el signo de $f''(x)$ alrededor de $x = e^{-1}$: $$\begin{array}{c|ccc} x & (0, e^{-1}) & e^{-1} & (e^{-1}, +\infty) \\ \hline 2/x & + & + & + \\ \ln(x)+1 & - & 0 & + \\ \hline f''(x) & - & 0 & + \\ \text{Curvatura} & \cap \text{ (Cóncava)} & \text{Inflexión} & \cup \text{ (Convexa)} \end{array}$$ Al existir un cambio de signo en la segunda derivada (de negativa a positiva), confirmamos que hay un punto de inflexión en $x = e^{-1}$. ✅ **Resultado (Punto de Inflexión):** $$\boxed{\text{Punto de inflexión en } \left(e^{-1}, e^{-1}\right) \approx (0.368, 0.368)}$$