Posición relativa y distancia entre rectas

**a) (1,5 puntos). Discutir la posición relativa de las dos rectas $r, s$ según los valores del parámetro $a$.** Para estudiar la posición relativa, primero extraemos un punto y un vector director de cada recta. **Para la recta $r$:** Calculamos el vector director $\vec{v_r}$ mediante el producto vectorial de los vectores normales a los planos que la definen: $$\vec{v_r} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & -a & 0 \\ 0 & a & 1 \end{vmatrix} = \vec{i}(-a - 0) - \vec{j}(1 - 0) + \vec{k}(a - 0) = (-a, -1, a).$$ Buscamos un punto $P_r$ haciendo, por ejemplo, $y=0$: $$x - a(0) = 2 \implies x = 2; \quad a(0) + z = 1 \implies z = 1 \implies P_r(2, 0, 1).$$ **Para la recta $s$:** Su vector director $\vec{v_s}$ es: $$\vec{v_s} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix} = \vec{i}(0 + 1) - \vec{j}(1 - 0) + \vec{k}(1 - 0) = (1, -1, 1).$$ Buscamos un punto $P_s$ haciendo $z=0$: $$x - 0 = 1 \implies x = 1; \quad y + 0 = 3 \implies y = 3 \implies P_s(1, 3, 0).$$ 💡 **Tip:** El vector director de una recta dada como intersección de dos planos se puede obtener como el producto vectorial de los vectores normales de dichos planos.

Definimos el vector que une ambos puntos: $\vec{P_r P_s} = (1-2, 3-0, 0-1) = (-1, 3, -1)$. Analizamos el rango de la matriz formada por los vectores directores $M = (\vec{v_r}, \vec{v_s})$ y la matriz ampliada $M' = (\vec{v_r}, \vec{v_s}, \vec{P_r P_s})$. Calculamos el determinante de $M'$ por la regla de Sarrus: $$|M'| = \begin{vmatrix} -a & 1 & -1 \\ -1 & -1 & 3 \\ a & 1 & -1 \end{vmatrix} = [(-a)(-1)(-1) + (1)(3)(a) + (-1)(-1)(1)] - [a(-1)(-1) + 1(-1)(-a) + (-1)(3)(1)]$$ $$|M'| = [-a + 3a + 1] - [a + a - 3] = (2a + 1) - (2a - 3) = 4.$$ Revisamos el cálculo del determinante: $$|M'| = -a(1 - 3) - 1(1 - 3a) - 1(-1 + a) = 2a - 1 + 3a + 1 - a = 4a.$$ Estudiamos los casos según $a$: 1. **Si $a \neq 0$**: El determinante $|M'| \neq 0$, por lo que $\text{rango}(M') = 3$. Como los vectores $\vec{v_r}$ y $\vec{v_s}$ no son proporcionales para ningún $a$ (ya que la segunda componente de $\vec{v_s}$ es $-1$ y la de $\vec{v_r}$ es siempre $-1$), $\text{rango}(M) = 2$. En este caso, las rectas **se cruzan**. 2. **Si $a = 0$**: El determinante $|M'| = 0$, por lo que $\text{rango}(M') = 2$. Como $\text{rango}(M) = 2$ (los vectores directores son $(0, -1, 0)$ y $(1, -1, 1)$, que son linealmente independientes), las rectas **se cortan** en un punto. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Si } a \neq 0, \text{ las rectas se cruzan; si } a = 0, \text{ las rectas se cortan}}$$

**b) (1,5 puntos). Si $a=1$, calcular la distancia mínima entre las dos rectas $r, s$.** Para $a=1$, sabemos por el apartado anterior que las rectas se cruzan. La distancia mínima viene dada por la fórmula: $$d(r, s) = \frac{|[\vec{v_r}, \vec{v_s}, \vec{P_r P_s}]|}{|\vec{v_r} \times \vec{v_s}|}$$ Donde el numerador es el valor absoluto del determinante hallado en el paso anterior: $$|[\vec{v_r}, \vec{v_s}, \vec{P_r P_s}]| = |4a| = |4(1)| = 4.$$ Calculamos ahora el producto vectorial de los vectores directores con $a=1$: $\vec{v_r} = (-1, -1, 1)$ y $\vec{v_s} = (1, -1, 1)$. $$\vec{v_r} \times \vec{v_s} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -1 & -1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \end{vmatrix} = \vec{i}(-1 + 1) - \vec{j}(-1 - 1) + \vec{k}(1 + 1) = (0, 2, 2).$$ El módulo de este vector es: $$|\vec{v_r} \times \vec{v_s}| = \sqrt{0^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}.$$ Sustituimos en la fórmula de la distancia: $$d(r, s) = \frac{4}{2\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} \text{ unidades.}$$ 💡 **Tip:** La distancia entre dos rectas que se cruzan equivale a la altura del paralelepípedo formado por sus vectores directores y el vector que une sus puntos. ✅ **Resultado:** $$\boxed{d(r, s) = \sqrt{2} \approx 1,414 \text{ u}}$$