Discusión y resolución de un sistema con parámetro

**a) (2 puntos). Discutir el sistema según los valores del parámetro $a$. Resolverlo cuando la solución sea única.** Comenzamos escribiendo el sistema en forma matricial $A \cdot X = B$, identificando la matriz de coeficientes ($A$) y la matriz ampliada ($A^*$): $$A = \begin{pmatrix} 1 & -a \\ a & -1 \end{pmatrix}; \quad A^* = \begin{pmatrix} 1 & -a & 2 \\ a & -1 & a+1 \end{pmatrix}$$ Para discutir el sistema según el **Teorema de Rouché-Frobenius**, debemos estudiar el rango de estas matrices en función del parámetro $a$.

Calculamos el determinante de la matriz $A$ para hallar los valores críticos de $a$: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & -a \\ a & -1 \end{vmatrix} = (1)(-1) - (a)(-a) = -1 + a^2 = a^2 - 1$$ Igualamos el determinante a cero para encontrar los valores que cambian el rango: $$a^2 - 1 = 0 \implies a^2 = 1 \implies a = \pm 1$$ 💡 **Tip:** El determinante de una matriz $2 \times 2$ es el producto de la diagonal principal menos el producto de la diagonal secundaria.

Si $a \neq 1$ y $a \neq -1$, entonces $|A| \neq 0$. Esto implica que el rango de la matriz de coeficientes es máximo: $$\text{rg}(A) = 2$$ Como la matriz ampliada $A^*$ es de dimensión $2 \times 3$, su rango máximo también es 2. Por tanto: $$\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) = 2 = \text{nº de incógnitas}$$ Según el **Teorema de Rouché-Frobenius**, el sistema es **Compatible Determinado (solución única)**.

Si $a = 1$, la matriz ampliada es: $$A^* = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 1 & -1 & 2 \end{pmatrix}$$ Observamos que las dos filas son idénticas ($F_2 = F_1$). Esto significa que: - $\text{rg}(A) = 1$ (ya que $|A|=0$ y hay elementos distintos de cero). - $\text{rg}(A^*) = 1$ (ya que la segunda fila desaparece al hacer Gauss). Como $\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) = 1 \lt 2$ (nº de incógnitas), según el **Teorema de Rouché-Frobenius**, el sistema es **Compatible Indeterminado (infinitas soluciones)**.

Si $a = -1$, la matriz ampliada es: $$A^* = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ -1 & -1 & 0 \end{pmatrix}$$ El rango de $A$ es $\text{rg}(A) = 1$ porque las filas son proporcionales ($1/(-1) = 1/(-1)$). Para el rango de $A^*$, buscamos un menor de orden 2 distinto de cero usando la columna de términos independientes: $$\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 0 \end{vmatrix} = 0 - (-2) = 2 \neq 0 \implies \text{rg}(A^*) = 2$$ Como $\text{rg}(A) = 1 \neq \text{rg}(A^*) = 2$, según el **Teorema de Rouché-Frobenius**, el sistema es **Incompatible (no tiene solución)**.

Resolvemos el sistema para $a \neq \pm 1$. Utilizaremos la regla de Cramer: Calculamos $x$: $$x = \frac{|A_x|}{|A|} = \frac{\begin{vmatrix} 2 & -a \\ a+1 & -1 \end{vmatrix}}{a^2-1} = \frac{-2 - (-a(a+1))}{a^2-1} = \frac{a^2+a-2}{a^2-1}$$ Factorizamos el numerador ($a^2+a-2 = (a+2)(a-1)$) y el denominador ($a^2-1 = (a+1)(a-1)$): $$x = \frac{(a+2)(a-1)}{(a+1)(a-1)} = \frac{a+2}{a+1}$$ Calculamos $y$: $$y = \frac{|A_y|}{|A|} = \frac{\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ a & a+1 \end{vmatrix}}{a^2-1} = \frac{a+1-2a}{a^2-1} = \frac{1-a}{(a+1)(a-1)} = \frac{-(a-1)}{(a+1)(a-1)} = \frac{-1}{a+1}$$ ✅ **Resultado (Discusión y Resolución):** $$\boxed{\begin{cases} a \neq \pm 1: \text{S.C.D. } x = \frac{a+2}{a+1}, y = \frac{-1}{a+1} \\ a = 1: \text{S.C.I.} \\ a = -1: \text{S.I.} \end{cases}}$$

**b) (1 punto). Determinar para qué valor o valores de $a$ el sistema tiene una solución en la que $y = 2$.** Para que el sistema tenga una solución donde $y = 2$, sustituimos este valor en las ecuaciones originales: $$\begin{cases} x - a(2) = 2 \\ ax - (2) = a+1 \end{cases} \implies \begin{cases} x = 2 + 2a \\ ax = a + 3 \end{cases}$$ Sustituimos la primera expresión en la segunda: $$a(2 + 2a) = a + 3 \implies 2a + 2a^2 = a + 3 \implies 2a^2 + a - 3 = 0$$ Resolvemos la ecuación de segundo grado para $a$: $$a = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(2)(-3)}}{2(2)} = \frac{-1 \pm \sqrt{25}}{4} = \frac{-1 \pm 5}{4}$$ Las soluciones son: - $a_1 = \frac{4}{4} = 1$ - $a_2 = \frac{-6}{4} = -\frac{3}{2}$ Comprobamos la validez: - Si $a = 1$, el sistema es Compatible Indeterminado. Sustituyendo en la ecuación $x-y=2$, si $y=2$ entonces $x=4$. Es una solución válida. - Si $a = -3/2$, el sistema es Compatible Determinado, por lo que existe una única solución con $y=2$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{a = 1, \quad a = -\frac{3}{2}}$$