Sistemas de ecuaciones: Problema de billetes

**Averiguar el número de billetes de cada valor depositado, sabiendo que la suma del número de billetes de 50 y de 10 euros es el doble que el número de billetes de 20 euros.** En primer lugar, definimos las incógnitas del problema basándonos en los tipos de billetes disponibles: - $x$: número de billetes de $50$ €. - $y$: número de billetes de $20$ €. - $z$: número de billetes de $10$ €. A partir del enunciado, extraemos las tres condiciones para formar el sistema de ecuaciones: 1. **Total de billetes:** Se depositan $225$ billetes. $$x + y + z = 225$$ 2. **Importe total:** El valor total es de $7000$ €. $$50x + 20y + 10z = 7000$$ 3. **Relación entre billetes:** La suma de los de $50$ y $10$ es el doble que los de $20$. $$x + z = 2y \implies x - 2y + z = 0$$ 💡 **Tip:** En problemas de mezclas o billetes, siempre suele haber una ecuación para la 'cantidad' y otra para el 'valor total' (cantidad $\cdot$ precio).

Para facilitar los cálculos, podemos simplificar la segunda ecuación dividiendo todos sus términos entre $10$: $$50x + 20y + 10z = 7000 \xrightarrow{/10} 5x + 2y + z = 700$$ El sistema de ecuaciones lineales queda de la siguiente forma: $$\begin{cases} x + y + z = 225 & (1) \\ 5x + 2y + z = 700 & (2) \\ x - 2y + z = 0 & (3) \end{cases}$$ 💡 **Tip:** Simplificar las ecuaciones siempre que sea posible reduce el riesgo de errores aritméticos en pasos posteriores.

Observamos que la ecuación (3) nos da una relación directa: $x + z = 2y$. Podemos sustituir esta expresión directamente en la ecuación (1). Reordenamos la ecuación (1): $$(x + z) + y = 225$$ Sustituimos $x + z$ por $2y$: $$2y + y = 225 \implies 3y = 225$$ Despejamos $y$: $$y = \frac{225}{3} = 75$$ Ya tenemos el número de billetes de $20$ euros: **$y = 75$**. Ahora, sustituimos este valor en las ecuaciones (1) y (2) simplificadas: - De (1): $x + 75 + z = 225 \implies x + z = 150$ - De (2): $5x + 2(75) + z = 700 \implies 5x + 150 + z = 700 \implies 5x + z = 550$ 💡 **Tip:** El método de sustitución es muy eficiente cuando una de las ecuaciones presenta una estructura que se repite en las demás.

Resolvemos el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas resultante: $$\begin{cases} x + z = 150 \\ 5x + z = 550 \end{cases}$$ Restamos la primera ecuación a la segunda para eliminar la $z$: $$(5x + z) - (x + z) = 550 - 150$$ $$4x = 400 \implies x = \frac{400}{4} = 100$$ Finalmente, calculamos $z$ usando la relación $x + z = 150$: $$100 + z = 150 \implies z = 150 - 100 = 50$$ ✅ **Resultado final:** El cajero tiene: $$\boxed{100 \text{ billetes de } 50\text{€}, \; 75 \text{ billetes de } 20\text{€} \text{ y } 50 \text{ billetes de } 10\text{€}}$$ Podemos comprobar el importe total: $100 \cdot 50 + 75 \cdot 20 + 50 \cdot 10 = 5000 + 1500 + 500 = 7000$ €. Es correcto.