Resolución de un sistema compatible indeterminado con cuatro incógnitas

Para resolver el sistema, comenzamos escribiendo la matriz ampliada $(A|B)$ asociada al sistema de ecuaciones: $$(A|B) = \left(\begin{array}{cccc|c} 1 & -2 & 1 & -3 & -4 \\ 1 & 2 & 1 & 3 & 4 \\ 2 & -4 & 2 & -6 & -8 \\ 2 & 0 & 2 & 0 & 0 \end{array}\right)$$ Observamos las relaciones entre las filas: 1. La **Fila 3 ($F_3$)** es exactamente el doble de la **Fila 1 ($F_1$)**: $F_3 = 2F_1$. Por tanto, la tercera ecuación es redundante y puede eliminarse. 2. Si sumamos la **Fila 1 ($F_1$)** y la **Fila 2 ($F_2$)**, obtenemos: $$(1+1)x + (-2+2)y + (1+1)z + (-3+3)v = -4+4 \implies 2x + 2z = 0$$ Esta es exactamente la **Fila 4 ($F_4$)**. Esto significa que $F_4$ también depende linealmente de las dos primeras. 💡 **Tip:** Detectar dependencias lineales a simple vista (filas proporcionales o sumas de filas) ahorra mucho tiempo en el proceso de escalonamiento de Gauss.

Tras observar que $F_3$ y $F_4$ son dependientes de $F_1$ y $F_2$, el sistema se reduce a solo dos ecuaciones independientes: $$\begin{cases} x - 2y + z - 3v = -4 \\ x + 2y + z + 3v = 4 \end{cases}$$ Calculamos el rango utilizando estas dos filas. La matriz de coeficientes reducida es: $$A' = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 & -3 \\ 1 & 2 & 1 & 3 \end{pmatrix}$$ Como existen menores de orden 2 distintos de cero, por ejemplo: $$\begin{vmatrix} 1 & -2 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 2 - (-2) = 4 \neq 0$$ Concluimos que **$rg(A) = 2$** y **$rg(A|B) = 2$**.

Aplicamos el **Teorema de Rouché-Capelli** para clasificar el sistema: - Número de incógnitas ($n$): $4$ ($x, y, z, v$) - Rango de la matriz de coeficientes ($rg(A)$): $2$ - Rango de la matriz ampliada ($rg(A|B)$): $2$ Como $rg(A) = rg(A|B) = 2 \lt n$, el sistema es **Compatible Indeterminado**. El número de parámetros necesarios para expresar la solución es: $$n - rg(A) = 4 - 2 = 2 \text{ parámetros}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que si el rango es menor al número de incógnitas, el sistema tiene infinitas soluciones y debemos usar parámetros.

Utilizamos las dos ecuaciones independientes obtenidas anteriormente. Para simplificar, sumamos y restamos las ecuaciones: 1. Sumando las ecuaciones: $$(x - 2y + z - 3v) + (x + 2y + z + 3v) = -4 + 4 \implies 2x + 2z = 0 \implies \mathbf{z = -x}$$ 2. Restando la primera a la segunda: $$(x + 2y + z + 3v) - (x - 2y + z - 3v) = 4 - (-4) \implies 4y + 6v = 8 \implies \mathbf{2y + 3v = 4}$$ Asignamos parámetros a dos de las variables, por ejemplo $x = \lambda$ y $v = \mu$: - De $z = -x$, obtenemos **$z = -\lambda$** - De $2y + 3v = 4$, despejamos $y$: $2y = 4 - 3\mu \implies \mathbf{y = 2 - \dfrac{3}{2}\mu}$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\begin{cases} x = \lambda \\ y = 2 - \frac{3}{2}\mu \\ z = -\lambda \\ v = \mu \end{cases} \quad \forall \lambda, \mu \in \mathbb{R}}$$