Intersección de recta y plano. Planos paralelos a una distancia dada

**a) (1 punto). Hallar el punto $P$ determinado por la intersección de $r$ con $\pi_1$.** Para hallar el punto de intersección entre una recta y un plano, lo más sencillo es expresar la recta en ecuaciones paramétricas. A partir de la ecuación continua de $r$: $$r \equiv \frac{x-1}{2} = \frac{y+1}{3} = \frac{z}{-4} = \lambda$$ Despejamos cada variable en función del parámetro $\lambda$: $$\begin{cases} x = 1 + 2\lambda \\ y = -1 + 3\lambda \\ z = -4\lambda \end{cases}$$ 💡 **Tip:** Las ecuaciones paramétricas nos permiten representar cualquier punto genérico de la recta $r$ como $(1+2\lambda, -1+3\lambda, -4\lambda)$.

Sustituimos las expresiones de $x, y, z$ en la ecuación del plano $\pi_1 \equiv x+y+z = 1$: $$(1 + 2\lambda) + (-1 + 3\lambda) + (-4\lambda) = 1$$ Operamos para resolver $\lambda$: $$1 + 2\lambda - 1 + 3\lambda - 4\lambda = 1$$ $$\lambda = 1$$ Ahora, sustituimos $\lambda = 1$ en las ecuaciones paramétricas de la recta para obtener las coordenadas de $P$: $$x = 1 + 2(1) = 3$$ $$y = -1 + 3(1) = 2$$ $$z = -4(1) = -4$$ ✅ **Resultado (Punto P):** $$\boxed{P(3, 2, -4)}$$

**b) (2 puntos). Hallar un plano $\pi_2$ paralelo a $\pi_1$ y tal que el segmento de la recta $r$ comprendido entre los planos $\pi_1$, $\pi_2$ tenga longitud $\sqrt{29}$ unidades.** Un plano $\pi_2$ paralelo a $\pi_1: x+y+z-1=0$ tendrá la forma: $$\pi_2 \equiv x+y+z+k = 0$$ Sea $Q$ el punto de intersección de la recta $r$ con el plano $\pi_2$. Como $Q$ pertenece a la recta, sus coordenadas deben seguir la forma paramétrica hallada anteriormente: $$Q(1 + 2\lambda, -1 + 3\lambda, -4\lambda)$$ Sabemos que el punto de intersección con $\pi_1$ es $P(3, 2, -4)$, que corresponde a $\lambda = 1$.

La longitud del segmento $PQ$ debe ser $\sqrt{29}$. Calculamos el vector $\vec{PQ}$ siendo $P(3,2,-4)$ y $Q(1+2\lambda, -1+3\lambda, -4\lambda)$: $$\vec{PQ} = (1+2\lambda-3, -1+3\lambda-2, -4\lambda-(-4)) = (2\lambda-2, 3\lambda-3, -4\lambda+4)$$ $$\vec{PQ} = (\lambda-1)(2, 3, -4)$$ Calculamos el módulo de $\vec{PQ}$: $$|\vec{PQ}| = |\lambda-1| \sqrt{2^2 + 3^2 + (-4)^2} = |\lambda-1| \sqrt{4 + 9 + 16} = |\lambda-1|\sqrt{29}$$ Igualamos a la distancia dada: $$|\lambda-1|\sqrt{29} = \sqrt{29} \implies |\lambda-1| = 1$$ Esto nos da dos soluciones para $\lambda$: 1. $\lambda - 1 = 1 \implies \lambda = 2$ 2. $\lambda - 1 = -1 \implies \lambda = 0$ 💡 **Tip:** El valor absoluto indica que existen dos puntos en la recta (uno a cada lado de $\pi_1$) que cumplen la condición.

Obtenemos los puntos $Q$ correspondientes y sustituimos en la ecuación del plano $\pi_2: x+y+z+k=0$: **Caso 1: $\lambda = 2$** $Q_1 = (1+2(2), -1+3(2), -4(2)) = (5, 5, -8)$ Sustituimos en el plano: $5 + 5 - 8 + k = 0 \implies 2 + k = 0 \implies k = -2$ Plano: $x+y+z-2=0$ **Caso 2: $\lambda = 0$** $Q_2 = (1+2(0), -1+3(0), -4(0)) = (1, -1, 0)$ Sustituimos en el plano: $1 - 1 + 0 + k = 0 \implies k = 0$ Plano: $x+y+z=0$ Como el enunciado pide "un plano", cualquiera de los dos es válido, aunque indicaremos ambos. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\pi_2 \equiv x+y+z-2=0 \quad \text{o} \quad \pi_2 \equiv x+y+z=0}$$