Integración por partes y cambio de variable

**a) (1,5 puntos). Calcular: $\int x^3 \ln(x) dx$ donde $\ln(x)$ es el logaritmo neperiano de $x$.** Esta integral es un producto de una función potencia ($x^3$) y una función logarítmica ($\ln(x)$). El método más adecuado es la **integración por partes**. Recordamos la fórmula de integración por partes: $$\int u \, dv = uv - \int v \, du$$ 💡 **Tip:** Una regla mnemotécnica útil para elegir $u$ es **ALPES** (Arcos, Logaritmos, Polinomios, Exponenciales, Senos/Cosenos). Siguiendo este orden, elegimos el logaritmo como $u$.

Definimos los elementos para la integración por partes: - Elegimos $u = \ln(x)$, por lo que su derivada es $du = \dfrac{1}{x} dx$. - Elegimos $dv = x^3 dx$, por lo que su integral es $v = \displaystyle\int x^3 dx = \dfrac{x^4}{4}$. Sustituimos en la fórmula: $$\int x^3 \ln(x) dx = \ln(x) \cdot \frac{x^4}{4} - \int \frac{x^4}{4} \cdot \frac{1}{x} dx$$ Simplificamos el término dentro de la integral: $$\int x^3 \ln(x) dx = \frac{x^4 \ln(x)}{4} - \frac{1}{4} \int x^3 dx$$ Calculamos la integral restante: $$\int x^3 \ln(x) dx = \frac{x^4 \ln(x)}{4} - \frac{1}{4} \left( \frac{x^4}{4} \right) + C$$ Simplificamos el resultado final: $$\boxed{\int x^3 \ln(x) dx = \frac{x^4 \ln(x)}{4} - \frac{x^4}{16} + C}$$

**b) (1,5 puntos). Utilizar el cambio de variable $x = e^t - e^{-t}$ para calcular: $\int \frac{1}{\sqrt{4+x^2}} dx$** Primero, calculamos el diferencial $dx$ derivando la expresión de $x$ respecto a $t$: $$dx = (e^t - (-e^{-t})) dt = (e^t + e^{-t}) dt$$ Ahora, analizamos el término del denominador $\sqrt{4+x^2}$ sustituyendo $x$: $$4+x^2 = 4 + (e^t - e^{-t})^2$$ Desarrollamos el cuadrado del binomio $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$: $$4+x^2 = 4 + (e^{2t} - 2e^t e^{-t} + e^{-2t})$$ Como $e^t e^{-t} = e^0 = 1$: $$4+x^2 = 4 + e^{2t} - 2 + e^{-2t} = e^{2t} + 2 + e^{-2t}$$ 💡 **Tip:** Observa que $e^{2t} + 2 + e^{-2t}$ es el desarrollo de un cuadrado perfecto: $(e^t + e^{-t})^2$.

Sustituimos la expresión obtenida en la raíz cuadrada: $$\sqrt{4+x^2} = \sqrt{(e^t + e^{-t})^2} = |e^t + e^{-t}|$$ Como $e^t$ y $e^{-t}$ son siempre funciones positivas para cualquier valor de $t$, podemos prescindir del valor absoluto: $$\sqrt{4+x^2} = e^t + e^{-t}$$

Sustituimos todos los elementos en la integral original: $$\int \frac{1}{\sqrt{4+x^2}} dx = \int \frac{1}{e^t + e^{-t}} (e^t + e^{-t}) dt$$ Los términos se cancelan simplificando notablemente la expresión: $$\int 1 \, dt = t + C$$ La integral en términos de $t$ es inmediata.

Para finalizar, debemos expresar el resultado en función de $x$ utilizando la indicación proporcionada en el enunciado: $$t = \ln \left( \frac{x + \sqrt{x^2+4}}{2} \right)$$ Sustituyendo $t$ en nuestro resultado $t+C$: ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\int \frac{1}{\sqrt{4+x^2}} dx = \ln \left( \frac{x + \sqrt{x^2+4}}{2} \right) + C}$$