Perpendicular común a dos rectas

Para hallar la perpendicular común, primero identificamos un punto y el vector director de cada una de las rectas dadas. La recta $r$ está expresada en forma continua: $$r \equiv \frac{x-(-1)}{1} = \frac{y-2}{2} = \frac{z-0}{3}$$ De aquí obtenemos: - Punto $P_r(-1, 2, 0)$ - Vector director $\vec{u}_r(1, 2, 3)$ La recta $s$ también está en forma continua: $$s \equiv \frac{x-0}{2} = \frac{y-1}{3} = \frac{z-0}{4}$$ De aquí obtenemos: - Punto $P_s(0, 1, 0)$ - Vector director $\vec{v}_s(2, 3, 4)$ 💡 **Tip:** En la ecuación continua $\frac{x-x_0}{a} = \frac{y-y_0}{b} = \frac{z-z_0}{c}$, el punto es $(x_0, y_0, z_0)$ y el vector es $(a, b, c)$.

La recta $t$ que buscamos debe ser perpendicular a $r$ y a $s$ simultáneamente. Por tanto, su vector director $\vec{w}_t$ será el producto vectorial de los vectores directores de ambas rectas. Calculamos $\vec{w}_t = \vec{u}_r \times \vec{v}_s$ mediante un determinante: $$\vec{w}_t = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 4 \end{vmatrix}$$ Resolvemos por Sarrus o desarrollo por la primera fila: $$\vec{w}_t = \vec{i}(2\cdot 4 - 3\cdot 3) - \vec{j}(1\cdot 4 - 3\cdot 2) + \vec{k}(1\cdot 3 - 2\cdot 2)$$ $$\vec{w}_t = \vec{i}(8-9) - \vec{j}(4-6) + \vec{k}(3-4)$$ $$\vec{w}_t = -1\vec{i} + 2\vec{j} - 1\vec{k} = (-1, 2, -1)$$ Podemos usar como vector director de $t$: **$\vec{w}_t(-1, 2, -1)$**. 💡 **Tip:** El producto vectorial produce un vector perpendicular a los dos vectores originales.

Existen varios métodos para hallar la recta $t$. El más directo es determinarla como la intersección de dos planos, $\pi_1$ y $\pi_2$: - El plano $\pi_1$ contiene a la recta $r$ y a la dirección $\vec{w}_t$. - El plano $\pi_2$ contiene a la recta $s$ y a la dirección $\vec{w}_t$. Visualmente, la recta $t$ es el eje donde se cortan estos dos planos auxiliares.

Calculamos el plano $\pi_1$ que pasa por $P_r(-1, 2, 0)$ y tiene como vectores directores $\vec{u}_r(1, 2, 3)$ y $\vec{w}_t(-1, 2, -1)$: $$\begin{vmatrix} x+1 & y-2 & z \\ 1 & 2 & 3 \\ -1 & 2 & -1 \end{vmatrix} = 0$$ Desarrollamos el determinante: $$(x+1)(-2-6) - (y-2)(-1+3) + z(2+2) = 0$$ $$-8(x+1) - 2(y-2) + 4z = 0$$ $$-8x - 8 - 2y + 4 + 4z = 0$$ $$-8x - 2y + 4z - 4 = 0$$ Dividimos entre $-2$ para simplificar la ecuación: $$\boxed{4x + y - 2z + 2 = 0}$$

Calculamos el plano $\pi_2$ que pasa por $P_s(0, 1, 0)$ y tiene como vectores directores $\vec{v}_s(2, 3, 4)$ y $\vec{w}_t(-1, 2, -1)$: $$\begin{vmatrix} x & y-1 & z \\ 2 & 3 & 4 \\ -1 & 2 & -1 \end{vmatrix} = 0$$ Desarrollamos el determinante: $$x(-3-8) - (y-1)(-2+4) + z(4+3) = 0$$ $$-11x - 2(y-1) + 7z = 0$$ $$-11x - 2y + 2 + 7z = 0$$ Cambiamos el signo para que el coeficiente de $x$ sea positivo: $$\boxed{11x + 2y - 7z - 2 = 0}$$

La recta $t$ perpendicular común a $r$ y $s$ viene dada por la intersección de los dos planos hallados. Podemos expresarla en su forma implícita: ✅ **Resultado final:** $$\boxed{t \equiv \begin{cases} 4x + y - 2z + 2 = 0 \\ 11x + 2y - 7z - 2 = 0 \end{cases}}$$