Puntos equidistantes y división de segmentos

**a) (1 punto). Hallar todos los puntos $R$ tales que la distancia entre $P$ y $R$ sea igual a la distancia entre $Q$ y $R$. Describir dicho conjunto de puntos.** Sea $R(x, y, z)$ un punto genérico del espacio. La condición impuesta es que la distancia de $P(1, 1, 3)$ a $R$ sea igual a la distancia de $Q(0, 1, 0)$ a $R$: $$\text{dist}(P, R) = \text{dist}(Q, R)$$ Utilizamos la fórmula de la distancia entre dos puntos en el espacio: $$\sqrt{(x-1)^2 + (y-1)^2 + (z-3)^2} = \sqrt{(x-0)^2 + (y-1)^2 + (z-0)^2}$$ 💡 **Tip:** El conjunto de puntos que equidistan de otros dos es, por definición, el **plano mediador** del segmento que los une.

Para eliminar las raíces, elevamos ambos miembros al cuadrado: $$(x-1)^2 + (y-1)^2 + (z-3)^2 = x^2 + (y-1)^2 + z^2$$ Podemos simplificar el término $(y-1)^2$ en ambos lados y desarrollar las identidades notables restantes: $$x^2 - 2x + 1 + z^2 - 6z + 9 = x^2 + z^2$$ Cancelamos los términos cuadráticos $x^2$ y $z^2$: $$-2x - 6z + 10 = 0$$ Dividiendo toda la ecuación por $-2$ para simplificar: $$x + 3z - 5 = 0$$ Este conjunto de puntos corresponde a un **plano** perpendicular al segmento $PQ$ que pasa por su punto medio. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{El conjunto de puntos es el plano } \pi: x + 3z - 5 = 0}$$

**b) (1 punto). Hallar todos los puntos $S$ contenidos en la recta que pasa por $P$ y $Q$ que verifican $\text{dist}(P, S) = 2 \text{dist}(Q, S)$, donde "dist" significa distancia.** Primero, hallamos la ecuación de la recta $r$ que pasa por $P(1, 1, 3)$ y $Q(0, 1, 0)$. Tomamos $Q$ como punto de paso y el vector $\vec{QP}$ como vector director: $$\vec{v} = \vec{QP} = P - Q = (1-0, 1-1, 3-0) = (1, 0, 3)$$ La ecuación paramétrica de la recta $r$ es: $$r: \begin{cases} x = \lambda \\ y = 1 \\ z = 3\lambda \end{cases}$$ Cualquier punto $S$ de la recta tendrá la forma $S(\lambda, 1, 3\lambda)$. 💡 **Tip:** Expresar los puntos de una recta en función de un solo parámetro $\lambda$ simplifica enormemente la resolución de problemas de distancias sobre la misma.

Calculamos las distancias en función de $\lambda$: - $\text{dist}(P, S) = \sqrt{(\lambda-1)^2 + (1-1)^2 + (3\lambda-3)^2} = \sqrt{(\lambda-1)^2 + 9(\lambda-1)^2} = \sqrt{10(\lambda-1)^2} = |\lambda-1|\sqrt{10}$ - $\text{dist}(Q, S) = \sqrt{(\lambda-0)^2 + (1-1)^2 + (3\lambda-0)^2} = \sqrt{\lambda^2 + 9\lambda^2} = \sqrt{10\lambda^2} = |\lambda|\sqrt{10}$ Sustituimos en la condición $\text{dist}(P, S) = 2 \text{dist}(Q, S)$: $$|\lambda-1|\sqrt{10} = 2 |\lambda|\sqrt{10}$$ Dividiendo por $\sqrt{10}$: $$|\lambda-1| = 2|\lambda|$$ Esta ecuación con valores absolutos da lugar a dos posibilidades: 1. $\lambda-1 = 2\lambda$ 2. $\lambda-1 = -2\lambda$

Resolvemos cada caso: **Caso 1:** $$\lambda - 1 = 2\lambda \implies -\lambda = 1 \implies \lambda_1 = -1$$ Sustituyendo en la recta: $S_1(-1, 1, -3)$. **Caso 2:** $$\lambda - 1 = -2\lambda \implies 3\lambda = 1 \implies \lambda_2 = \frac{1}{3}$$ Sustituyendo en la recta: $S_2\left(\frac{1}{3}, 1, 1\right)$. Gráficamente, $S_2$ se encuentra entre $P$ y $Q$, mientras que $S_1$ es exterior al segmento por el lado de $Q$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{S_1(-1, 1, -3) \text{ y } S_2\left(\frac{1}{3}, 1, 1\right)}$$